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Mastering
AMC 8
组合计数 · 第 3 章

字母重排

把一个单词的字母打乱重排，能得到多少个不同的“单词”？即使有重复字母也能数清楚。

这一章讲什么？
你需要先会
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3.10%

字母重排基础

在本节中，你将能够 数出一个单词的字母有多少种不同的重排方法，即使有些字母重复也没问题。

把 OMEGA 的字母打乱，会得到 GAMOE、MEGAO 这样的“单词”。一共能得到多少个？再试试 SUNNY。把两个 N 交换一下，你得到新单词了吗？

当所有字母都不相同时，一个单词就是一排互不相同的物体，所以用阶乘来数。

当某个字母重复时，交换它的两个副本什么也没改变，阶乘却把同一个单词数了不止一次。除掉重复计数，就得到真正的答案。

动手探索先玩，再学公式

SUNNY：如果每个字母都不同，有 5! = 120 种；除以 N 的 2!（= 2），得到 60 种排法

120 ÷ 2 = 60

60 种不同的排法：5! 把每一种都数了 2 次（2!）。

小技巧：先点（或按回车选中）一张卡片，再点另一张，就能交换它们。

S U N N Y。120 ÷ 2 = 60 种不同的排法。

认识概念

注 3.1.1

记住：只有当所有字母都不相同时，才能直接用阶乘公式。

定理 3.1.2 · 字母重排公式

一个单词的字母排列方法数是

n!d1!×d2!×d3!×⋯\frac{n!}{d_1! \times d_2! \times d_3! \times \cdots}

其中 nn 是字母的总个数，d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots 分别是单词中每个重复字母出现的次数。

看例题先预测，再揭晓

例 3.1

把单词 OMEGA 的字母重新排列，有多少种排法？

OMEGA：5 个字母都不同，5! = 120 种排法

5! = 120

5 个字母都不同，所以就是 5!。

小技巧：先点（或按回车选中）一张卡片，再点另一张，就能交换它们。

O M E G A。120 ÷ 1 = 120 种不同的排法。

  1. 1

    这让你想起了什么？有没有两个字母是相同的？

    先预测一下：

例 3.2

把单词 SUNNY 的字母重新排列，有多少种排法？

SUNNY：如果每个字母都不同，有 5! = 120 种；除以 N 的 2!（= 2），得到 60 种排法

120 种带编号的排法

这 2 种带编号的排法拼出的都是同一个单词：

  • SUN₁N₂Y
  • SUN₂N₁Y

2 个 N 互换位置有 2! = 2 种方法。关掉编号，它们就合并成同一个单词。

小技巧：先点（或按回车选中）一张卡片，再点另一张，就能交换它们。

S U N₁ N₂ Y。如果每个字母都不同，有 5! = 120 种排法；每个单词被数了 2 次。

  1. 1

    这和上一个例题很像。我们还能用同样的阶乘公式吗？

    先预测一下：

例 3.3

把单词 APPLE 的字母重新排列，有多少种排法？

APPLE：如果每个字母都不同，有 5! = 120 种；除以 P 的 2!（= 2），得到 60 种排法

120 ÷ 2 = 60

60 种不同的排法：5! 把每一种都数了 2 次（2!）。

小技巧：先点（或按回车选中）一张卡片，再点另一张，就能交换它们。

A P P L E。120 ÷ 2 = 60 种不同的排法。

  1. 1

    假装两个 P 是不同的：P1P_1 和 P2P_2。把 5 个不同的字母排成一排，有多少种方法？

    先预测一下：
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自己做

习题 3.3.1

把单词 MATH 的字母重新排列，有多少种排法？

习题 3.3.2

把单词 MISSISSIPPI 的字母重新排列，有多少种排法？

习题 3.3.3

求把 PINEAPPLE 的字母排序的方法数。

习题 3.3.4

把单词 MISSPELLED 拼错，有多少种拼法？

竞赛角真实竞赛题

习题 3.3.6

AMC 10

一个小孩用形状完全相同、颜色不同的正方体搭塔。用 2 个红色正方体、3 个蓝色正方体和 4 个绿色正方体，这个小孩能搭出多少种不同的、高为 8 个正方体的塔？（会剩下一个正方体不用。）

习题 3.3.8（补充题）

AMC 10

把 1 块棕色瓷砖、1 块紫色瓷砖、2 块绿色瓷砖和 3 块黄色瓷砖从左到右排成一排，有多少种可区分的排法？（同色瓷砖不可区分。）

过关检测（第 3.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

把单词 TIGER 的字母重新排列，有多少种排法？

2

把单词 BANANA 的字母重新排列，有多少种不同的排法？

3

把 1 块棕色瓷砖、1 块紫色瓷砖、2 块绿色瓷砖和 3 块黄色瓷砖从左到右排成一排，有多少种可区分的排法？（同色瓷砖不可区分。）

3.20%

有限制条件的字母重排

在本节中，你将能够 数出带规则的重排：有的字母固定在某个位置，有的字母捆绑在一起，有的字母必须隔开。

把 COMPUTER 重新排列，但 C、O、M、P 必须挨在一起。想象用胶水把它们粘在一起。现在这个块就像一张大卡片一样整体移动！

规则会改变答案。这里有三个窍门：

  • 固定的字母： 先把它放到它的位置上，再排其余的字母。
  • 捆绑： 把块看成一个单元，再乘以块内的顺序数。
  • 隔开： 先把其他字母排好，再把重复的字母放进空隙里。

动手探索先玩，再学公式

COMPUTER 中把 COMP 捆绑：5 个单元有 120 种排法 × 块内 24 种顺序 = 2880

点击字母，把它们捆绑成一个块：

5 个单元（4 个单独的字母 + 1 个块）：

  2. U
  3. T
  4. E
  5. R
120 × 24 = 2,880

排列各单元有 120 种方法（整个块算作一张卡片），再乘以块内的 24 种顺序。

5 个单元：120 种排法 × 块内 24 种 = 2,880

认识概念

注 3.2.1

这个公式不只适用于单词！当一些物体中有几个属于同一类型时，它同样可以用来计算排列这些物体的方法数。事实上，以后学几何计数时我们还会用到它。

看例题先预测，再揭晓

例 3.4

把单词 OPOSSUM 的字母重新排列，如果排好的结果必须以 M 结尾，有多少种排法？

OPOSSUM（最后一个字母 M 不动）：如果每个字母都不同，有 6! = 720 种；除以 O 的 2!、S 的 2!（= 4），得到 180 种排法

720 ÷ 4 = 180

180 种不同的排法：6! 把每一种都数了 4 次（2! × 2!）。M 固定在末尾，所以只有前 6 个字母在动。

小技巧：先点（或按回车选中）一张卡片，再点另一张，就能交换它们。

O P O S S U M。720 ÷ 4 = 180 种不同的排法。

  1. 1

    M 必须放在最后。填最后这个位置有多少种方法？

    先预测一下：
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例 3.5

把 COMPUTER 的字母重新排列，使 C、O、M、P 这 4 个字母挨在一起（顺序不一定相同），有多少种排法？

COMPUTER：还没有捆绑任何字母。至少选 2 个字母捆绑成一个块。

点击字母，把它们捆绑成一个块：

还没有捆绑任何字母。至少点击 2 个字母。不捆绑时：把全部 8 个字母排成一排有 40,320 种方法。

至少选 2 个字母捆绑在一起。

  1. 1

    COMP 必须挨在一起，这个条件该怎么处理？

例 3.6

Omega Learn

把 LOLLIPOP 的字母重新排列，如果 I 必须同时挨着一个 L 和一个 O，有多少种排法？

LOLLIPOP 中把 LIO 捆绑：6 个单元有 180 种排法 × 块内 2 种顺序 = 360

点击字母，把它们捆绑成一个块：

6 个单元（5 个单独的字母 + 1 个块）：

  2. L
  3. O
  4. L
  5. P
  6. P
180 × 2 = 360

排列各单元有 180 种方法（整个块算作一张卡片），再乘以块内的 2 种顺序。

6 个单元：180 种排法 × 块内 2 种 = 360

  1. 1

    I 的一边要有 L，另一边要有 O。单词里一定会出现哪个 3 字母的块？

    先预测一下：
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自己做

习题 3.3.5

把单词 BOTTLE 的字母重新排列，使 2 个 T 和 O 挨在一起，有多少种排法？

习题 3.3.7（补充题）

你有 6 个苹果、3 个梨和 2 个橙子。假设同一种水果之间不可区分，如果 2 个橙子必须挨在一起，把这些水果排成一排有多少种不同的方法？

竞赛角真实竞赛题

习题 3.3.10

AMC 8

把 BEEKEEPER 的字母重新排列，使任意两个 E 都不挨在一起，有多少种排法？

习题 3.3.11

AHSME

把 CONTESTCONTEST 的字母重新排列，有多少种可区分的排法使两个元音字母都排在最前面？（例如，OETCNSTOETCNST 是这样的一种排法，但 OTETSNCOTETSNC 不是。）

过关检测（第 3.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

把 FRIEND 的字母重新排列，如果 F 和 R 必须挨在一起（顺序不限），有多少种排法？

2

把 BANANA 的字母重新排列，有多少种排法使任意两个 A 都不相邻？

3

你有 6 个苹果、3 个梨和 2 个橙子。假设同一种水果之间不可区分，如果 2 个橙子必须挨在一起，把这些水果排成一排有多少种不同的方法？

3.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用所有字母重排的技巧。

挑战时间到！这两道题把字母重排和分类讨论、字典序结合在一起。每道题都有三个提示，卡住了就看看。

想在一页上看到本章的所有习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 3.3.9

MATHCOUNTS

从 MATHCOUNTS 的 10 个字母中选出 4 个，能组成多少种不同的 4 字母排列？

习题 3.3.12

Omega Learn

把单词 SMILE 的字母按所有可能的方式重新排列，再像字典一样按字母顺序排好，那么单词 SLIME 排在第几位？