概念 5.1.1 · 分类讨论
分类讨论就是在解计数或概率问题时，考虑各种不同的情况，再把它们加起来。很多计数或概率问题都可以这样解：把问题分成几种情况，分别算出每种情况的排法数或概率，最后求和。
当没有其他明显的思路时，就可以试试分类讨论，它是 AMC 8 中最常用的技巧之一。
好的分类要做到不重不漏：既互不重叠（没有一个结果同时属于两种情况），又完整（每个结果都属于某一种情况）。这样，各种情况的个数加起来就是答案。
组合计数 · 第 5 章
分类讨论
一下子数不清？把它分成互不重叠的几种情况，每种分别数，再加起来。
5.10%
分类讨论基础
在本节中，你将能够 把一个计数或概率问题分成不重叠、不遗漏的几种情况，再把它们加起来。
掷两颗骰子。点数加起来等于 3 有多少种方法？你可以把 36 种结果全部列出来。也可以一次只问一个问题：如果第一颗是 1 呢？如果是 2 呢？
第二种做法就是分类讨论。把问题分成几种情况，每种情况分别数，再加起来。
注意：好的分类既不重叠，也不遗漏。这样，各种情况的个数加起来就是答案。
动手探索先玩，再学公式
认识概念
看例题先预测，再揭晓
例 5.1
掷两颗骰子。掷出的点数之和为 3 的方法有多少种？
- 1
两颗骰子的点数和为 3，有多少种方法？我们按第一颗骰子的点数分类。**情况 1：**第一颗掷出 1。第二颗必须是几？
先预测一下：
例 5.2
一副牌里有 4 张红牌，分别标有 A、B、C、D，还有 4 张绿牌，也分别标有 A、B、C、D。从中发出 2 张牌。如果两张牌颜色相同，或者字母相同，就是获胜的一对。抽到获胜的一对有多少种方法？
- 1
抽到获胜的一对有哪几种不同的方式？一对牌能不能既颜色相同又字母相同？
先预测一下：
例 5.3
Omega LearnSohil 有 10 个盒子。每个盒子里都有绿、橙、红、蓝四种颜色的球各一个。他随机选一个盒子，再从这个盒子里等可能地随机取出一个球。然后他重复这个过程：随机选任意一个盒子（可以再选同一个盒子），再从那个盒子里随机取一个球。两个球颜色相同的概率是多少？
- 1
Sohil 留着他取出的第一个球，不放回盒子。按什么分类比较好？
先预测一下：
自己做
习题 5.3.1
AMC 8如果不考虑钞票的顺序，用 $5 的钞票和 $2 的钞票凑出总共 $17，有多少种不同的组合？
习题 5.3.4
AMC 8Paul 欠 Paula 35 美分。他的口袋里装满了 5 美分、10 美分和 25 美分的硬币，可以用来还钱。他还钱时用的硬币个数最多和最少相差多少？
习题 5.3.6
AMC 8把一枚均匀的硬币抛 3 次。至少出现 2 次连续正面的概率是多少？
习题 5.3.3
各位数字互不相同的三位偶数有多少个？
竞赛角真实竞赛题
习题 5.3.2
AMC 8“Middle School Eight”篮球联盟有 8 支球队。每个赛季，每支球队都要和联盟内的其他每支球队各打两场（主场和客场各一场），每支球队还要和联盟外的对手打 4 场比赛。一个赛季中，有“Middle School Eight”球队参加的比赛一共有多少场？
习题 5.3.5
AMC 8一个正方体有多少对互相平行的棱？
习题 5.3.7
AMC 8有多少个四位正整数满足：四个数字互不相同，首位不是 0，这个数是 5 的倍数，并且 5 是其中最大的数字？
习题 5.3.8
AMC 10掷三颗均匀的六面骰子。其中两颗骰子的点数之和等于剩下那颗骰子点数的概率是多少？
习题 5.3.12
MATHCOUNTS在一场单败淘汰赛中，只剩下 Beavers、Ducks、Platypuses 和 Narwhals 四支篮球队。每一轮，各队两两比赛，每场比赛的胜者进入下一轮。如果各队随机配对，并且每支队伍赢任何一场比赛的概率都相同，那么 Ducks 和 Beavers 在两轮中的某一轮相遇的概率是多少？用最简分数表示你的答案。
过关检测（第 5.1 节）
3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。5.20%
更难的分类讨论例题
在本节中，你将能够 选一个分类标准，当某种情况还太大时，再分成子情况。
有些问题需要情况里面套情况。想象一棵树：树干分成几根大树枝，大树枝又能分成更小的树枝。数出所有的叶子，再加起来。
选一个分类标准，比如蓝盒子的个数或者百位数字。如果某种情况还是很难，就再分一次。
动手探索先玩，再学公式
认识概念
注 5.2.1
做分类讨论题时，选一个特征作为分类标准，然后求出每种情况下的方法数。在上一题中，这个特征是蓝盒子的个数。有时题目还需要子情况：一种情况里面再分情况。
看例题先预测，再揭晓
例 5.4
Omega Learn有 3 个相同的蓝盒子、6 个相同的绿盒子和 5 件互不相同的物品。每件物品都必须放进一个绿盒子或蓝盒子里，每个盒子最多放 1 件物品。假设所有盒子都不相同，有多少种放法？
- 1
要把 5 件物品放进 9 个盒子中的 5 个。怎样把这个问题分成几种情况？一共有几种情况？
先预测一下：
例 5.5
AMC 8在 3×3 方格的 9 个小方格中，每格放一个 或一个 。下图是一种示例摆法，其中有三个 连成一条线。有多少种摆法既有三个 连成一条线，又有三个 连成一条线？
- 1
组成的线和 组成的线能共用一个方格吗？
先预测一下：
自己做
习题 5.3.11
Omega Learn Math Contest给定集合 ，它有多少个非空子集，使得子集中元素的和是偶数？
习题 5.3.22（补充题）
BMMT在 Berkeley Sandwich Parlor，著名的 BMT 三明治在两片面包之间最多夹五份配料。配料可以是培根（bacon）、蛋黄酱（mayo）或番茄（tomato），同一种配料之间不可区分。如果三明治里每种配料都至少要有一份，并且配料放进三明治的顺序有区别，那么做一个 BMT 三明治一共有多少种方法？
习题 5.3.23（补充题）
Omega Learn有多少个四位数满足：第 2 位是偶数，第 3 位是 3 的倍数但不是 2 的倍数，第 4 位是 4 的倍数，并且所有数字都大于 0 且互不相同？
竞赛角真实竞赛题
习题 5.3.9
AMC 10把 重新排列，要求任意两个相邻的字母在字母表中都不相邻，这样的排列有多少种？例如，这样的排列中不能出现 或 。
习题 5.3.10
AMC 10某个州的车牌由 4 个数字（可以相同）和 2 个字母（也可以相同）组成。这六个字符可以按任意顺序出现，只是两个字母必须相邻。一共可能有多少种不同的车牌？
习题 5.3.13
AMC 10一位农民的长方形田地被分成 2×2 的方格，共 4 块长方形区域，如图所示。农民要在每块区域种一种作物：玉米、小麦、大豆或土豆。农民不想在任何两块有公共边界的区域分别种玉米和小麦，也不想在任何两块有公共边界的区域分别种大豆和土豆。在这些限制下，农民为田地的四块区域选择作物，有多少种方法？
习题 5.3.14
AMC 10把 3 个不可区分的红色筹码、3 个不可区分的蓝色筹码和 3 个不可区分的绿色筹码放进 方格的小方格中，要求任意两个同色筹码都不能上下或左右直接相邻，有多少种放法？
过关检测（第 5.2 节）
3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。5.3
练习题
在本节中，你将能够 在竞赛题中，把分类讨论和你学过的其他方法结合起来。
来一次大综合！骰子、数字、硬币和方格。动手数之前，先问自己：我该按什么分类？每道题都有三条提示，卡住了就看看。
想在一页里看到本章所有的题目吗？打开习题集。
综合练习
习题 5.3.20（补充题）
掷三颗不同的均匀四面体骰子，每颗的各面分别标有 1、2、3、4。掷出的点数之和为 7 的方法有多少种？
习题 5.3.16（补充题）
AMC 8三个正整数 、、 相乘，积是 100。假设 。这三个数有多少种选法？
习题 5.3.17（补充题）
AMC 8回文数是从左往右读和从右往左读都一样的数。（例如，12321 是回文数。）设 是不是回文数、但能表示为三个互不相同的两位回文数之和的最小三位整数。 的各位数字之和是多少？
习题 5.3.24（补充题）
MATHCOUNTS40,231 是一个五位正整数，它用到了五个连续的数字，只是不一定按顺序排列。这样的五位数有多少个？
竞赛角真实竞赛题
习题 5.3.15（补充题）
AMC 8Abby、Bridget 和她们的四位同学要坐成两排、每排三人拍集体照，如图所示。
如果座位是随机分配的，Abby 和 Bridget 在同一排或同一列中相邻的概率是多少？
习题 5.3.18（补充题）
EMCCFred 和 George 有一颗均匀的 8 面骰子，各面上写着数字 0,1,2,9,2,0,1,1。如果 Fred 和 George 各掷一次骰子，Fred 掷出的数比 George 大的概率是多少？
习题 5.3.19（补充题）
AMC 12在一颗标准骰子上随机去掉一个点，每个点被选中的可能性相同。然后掷这颗骰子。朝上的一面点数为奇数的概率是多少？
习题 5.3.21（补充题）
EMCCChad 和 Jordan 各自独立地选一个两位正整数，然后把这两个数相乘。乘积的个位是 0 的概率是多少？
习题 5.3.25（补充题）
MATHCOUNTS在图中的方格里，每次水平或竖直移动一格，可以重复经过方格，拼出单词“QUEUE”有多少种方法？
习题 5.3.26（补充题）
EMCCJasmine 掷一颗均匀的六面骰子（各面标有 1 到 6）和一颗均匀的二十面骰子（各面标有 1 到 20）。两次掷出的数之积加上两次掷出的数之和，结果是 3 的倍数的概率是多少？