12. 代数变形与方程 · Mastering AMC 8

12.10%

方程组基础

在本节中，你将能够 通过对等号两边做同样的事来解方程，并用因式分解或求根公式解二次方程。

3 个神秘盒子加 4 个砝码，和 1 个神秘盒子加 10 个砝码一样重。所有盒子都一样重。一个盒子有多重？天平能告诉你！

方程就是一架天平。你对一边的托盘做什么，就对另一边的托盘做同样的事，它就会一直保持平衡。

从两边拿走同样的东西，直到一边只剩一个盒子。这就是解出 $x$ 。

有两个未知数时，你需要两个方程。你可以把一个方程代入另一个，也可以把方程相加或相减，消去一个字母。

注意：

像 $x^2 - 5x + 4 = 0$ 这样的二次方程需要新招。把它因式分解成 $(x - 1)(x - 4) = 0$ ：其中一个括号必须等于 0。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 用“试 x =”调节器。x 取哪个值时，天平会平衡？
试一试： 按“两边各拿走 x”，再按“两边各拿走 4”。天平还平衡吗？为什么？
试一试： 按“两边各平分成 2 份”。一个盒子有多重？
试一试： 打开“显示公式”。每一步操作就是一行代数式。

认识概念

概念 12.1.1 · 二次式的因式分解

如果有一个形如 $x^2 + bx + c$ 的二次式，就可以把它因式分解成 $(x + p)(x + q)$ ，其中 $p + q = b$ ， $pq = c$ 。一般可以通过尝试检验找到这两个数。

然后，只要解形如 $x + r = 0$ 的一次方程就行了。

概念 12.1.2 · 韦达定理

如果形如 $x^2 + bx + c$ 的二次式有 2 个根 $r$ 和 $s$ ，那么 $r + s = -b$ ， $rs = c$ 。有时你不需要算出两个根，只要求出用根表示的式子就行。

定理 12.1.3 · 求根公式

二次方程

ax^2 + bx + c = 0

的解是

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

注 12.1.5 · 解二元方程组

解方程组最常用的方法是代入法和消元法。

一次方程组基础（英文）

解二元方程组还有一个更简单的方法：对角乘积法。

用对角乘积法解二元方程组（视频）

自己做

习题 12.4.1

AMC 8

Shauna 参加了 5 次测验，每次满分 100 分。她前 3 次测验的成绩是 76、94 和 87。要让 5 次测验的平均分达到 81，她在另外两次测验中的某一次最低可以得多少分？

习题 12.4.4

AMC 8

在一场有 10 道题的数学竞赛中，答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分。如果 Olivia 每道题都作答了，得分是 29 分，她答对了几道题？

习题 12.4.9

AMC 8

规定 $a * b$ 表示 $3a - b$ 。如果

2 * (5 * x) = 1

那么 $x$ 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.4.10

AMC 10

在一个面向高二和高三学生的课后项目中，有一支辩论队，队里两个年级的学生人数相等。项目里共有 28 名学生，其中高二学生的 $25\%$ 和高三学生的 $10\%$ 在辩论队里。项目里有多少名高二学生？

习题 12.4.20（补充题）

AMC 10

Ana 和 Bonita 在不同的年份的同一天出生，相差 n 岁。去年 Ana 的年龄是 Bonita 的 5 倍。今年 Ana 的年龄是 Bonita 年龄的平方。n 是多少？

习题 12.4.21（补充题）

AMC 8

学期的最后一天，Mrs. Awesome 给班上的同学发软糖。她给每个男生的软糖数等于班上男生的人数，给每个女生的软糖数等于班上女生的人数。她带了 400 颗软糖，发完后还剩 6 颗。她班上的男生比女生多 2 人。她的班上有多少名学生？

习题 12.4.25（补充题）

MATHCOUNTS

如果

\frac{3}{2 - x} + \frac{2}{y - 3} = 1

且

\frac{2}{2 - x} + \frac{8}{y - 3} = 2

求 $x$ 的值。

过关检测（第 12.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.20%

高级解方程技巧

在本节中，你将能够 为方程组挑选聪明的解法：对称性、方程相加、因式分解或画图。

竞赛里的方程组常常看起来很吓人：三个方程，三个未知数。但题目通常问的是 $x + y + z$ 这样的式子，而不是每个字母。找找捷径吧！

动手解之前，先看看方程的样子。它们对称吗？有公因式吗？能不能把它们全部加起来？

很多时候你根本不用一个一个求出 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，而是直接求出题目要的那个式子。

注意：

两个好帮手： $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ 和 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 。

动手探索先玩，再学公式

直线 1

2

x +

3

y =

12

直线 2

1

x +

-1

y =

1

一个解：x = 3，y = 2

x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot3}{2\cdot(-1) - 1\cdot3} = 3,\quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} = 2

试一试： 每个方程都是一条直线。两条直线在哪里相交？把这个点代入两个方程检验一下。
试一试： 把直线 2 改成 4x + 6y = 5。交点怎么了？为什么没有解？
试一试： 再把直线 2 改成 4x + 6y = 24。现在有多少个解？
试一试： 打开“显示公式”。分母 a₁b₂ − a₂b₁ 恰好在两条直线平行时等于 0。

认识概念

概念 12.2.1 · 解一般方程组

当你从应用题里列出了方程组，或者题目直接给了你一个方程组，就可以考虑用下面一种或几种方法来解。

利用对称性
代入未知数
消元法
把方程相加、相减或相乘
平方差： $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
二项式展开： $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 和 $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
其他常见的因式分解技巧（更多内容见代数数论那一章）
有平方根时，把方程两边平方
引入新的未知数再代入（换元法）
画出方程的图像（建议用方格纸）

看例题先预测，再揭晓

例 12.1

如果

\begin{aligned} 2x + y + z &= 36 \\ x + 2y + z &= 40 \\ x + y + 2z &= 32 \end{aligned}

求 $x + y + z$ 。

1
你发现这几个方程有什么相似之处吗？

先预测一下：

例 12.2

EMCC

设实数 $x, y, z$ 满足：

\begin{aligned} x + y - z &= 5 \\ y + z - x &= 7 \\ z + x - y &= 9 \end{aligned}

求 $x^2 + y^2 + z^2$ 。

1
把前两个方程相加。 $x$ 和 $z$ 怎么了？

先预测一下：
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例 12.3

EMCC

设实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $(x + y)(y + z) = 36$ 且 $(x + z)(x + y) = 4$ 。求 $y^2 - x^2$ 。

1
这两个方程有什么公因式？

先预测一下：

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例 12.4

BMMT

设实数 $x$ 和 $y$ 满足 $xy = 4$ 且 $x^2y + xy^2 = 25$ 。求 $x^3y + x^2y^2 + xy^3$ 的值。

1
把 $x^2y + xy^2$ 因式分解。提出 $xy$ 后还剩什么？

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你的预测

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自己做

习题 12.4.2

AMC 8

一个罐子里有红、绿、蓝三种弹珠。除了 6 颗以外都是红弹珠，除了 8 颗以外都是绿弹珠，除了 4 颗以外都是蓝弹珠。罐子里有多少颗弹珠？

习题 12.4.3

Omega Learn Math Contest

如果

\begin{aligned} a \times b \times c &= 4 \\ b \times c \times d &= 6 \\ c \times d \times e &= 12 \\ d \times e \times f &= 18 \\ e \times a \times b &= 9 \end{aligned}

求 $a \times b \times c \times d \times e \times f$ 。

习题 12.4.5

我想了 3 个整数。把它们两两相加，得到的和是 37、41、44。这 3 个整数的积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.4.14

AMC 10

设 $a + 1 = b + 2 = c + 3 = d + 4 = a + b + c + d + 5$ 。 $a + b + c + d$ 是多少？

习题 12.4.15

AMC 10

如果 $y + 4 = (x - 2)^2$ ， $x + 4 = (y - 2)^2$ ，且 $x \neq y$ ，那么 $x^2 + y^2$ 的值是多少？

习题 12.4.16

EMCC

已知

\begin{aligned} a + 5b + 9c &= 1 \\ 4a + 2b + 3c &= 2 \\ 7a + 8b + 6c &= 9 \end{aligned}

$741a + 825b + 639c$ 等于多少？

习题 12.4.17（补充题）

MATHCOUNTS

一个两位整数的个位数字和十位数字，分别是另一个两位整数的十位数字和个位数字。如果这两个整数的积是 4930，它们的和是多少？

习题 12.4.19（补充题）

AMC 8

一行写着 4 个数。前两个数的平均数是 21，中间两个数的平均数是 26，最后两个数的平均数是 30。第一个数和最后一个数的平均数是多少？

习题 12.4.24（补充题）

MATHCOUNTS

三个互不相同的正整数的积是 144。如果这三个整数的和是 26，它们的平方和是多少？

过关检测（第 12.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.30%

应用题

在本节中，你将能够 给未知数起名字，把应用题变成方程，再解出来。

一群人花 24 美元买了 10 张电影票。成人票每张 3 美元，儿童票每张 2 美元。去了几个大人？两个条件，两个未知数：这就是一个方程组。

应用题把方程藏在句子里。按三步走：

命名：用字母表示每个未知数。
翻译：把每个条件写成一个方程。
求解：解出方程组，再回到题目里检验答案。

注意：

“是……的三倍”表示乘法。“除了 6 个以外都是”表示其余的加起来是 6。慢慢读！

动手探索先玩，再学公式

试一试： 一群人买了 a 张每张 3 美元的成人票和 k 张每张 2 美元的儿童票。直线 1 说他们买了 10 张票。直线 2 说的是什么？
试一试： 在直线 1 上找一个坐标都是整数的点。它也在直线 2 上吗？
试一试： 打开“显示交点”。他们买了几张成人票、几张儿童票？

认识概念

概念 12.3.1 · 方程组应用题

这是 AMC 8 中最常见的题型之一。解这类题的窍门就是：给题目中的未知量设未知数，然后把方程解出来。

看例题先预测，再揭晓

例 12.5

Omega Learn

Orangey 喜欢喝稀释过的果汁。Orangey 拿了一杯 8 盎司的橙汁，喝掉了其中的一部分。然后，他把杯子剩下的部分倒满苹果汁。把杯子充分摇匀后，他喝掉了混合液的三分之二。接着他把杯子剩下的部分倒满水。然后 Orangey 把整杯喝完。如果他喝下的橙汁是苹果汁的 4 倍，那么他一共喝了多少盎司液体？

1
最后 Orangey 把整杯都喝完了。那么他一共喝了多少橙汁？

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例 12.6

AMC 8

如下图，长方形 $R_1$ 和 $R_2$ 以及正方形 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 拼成一个宽 3322、高 2020 的长方形。 $S_2$ 的边长是多少？

1
给未知数起名字。设三个正方形的边长为 $s_1, s_2, s_3$ 。看看左边和中间那一列。 $s_1$ 和 $s_2$ 有什么关系？

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例 12.7

AIME

罐 A 装有 4 升酸含量为 $45\%$ 的溶液。罐 B 装有 5 升酸含量为 $48\%$ 的溶液。罐 C 装有 1 升酸含量为 $k\%$ 的溶液。从罐 C 中取出 $\frac{m}{n}$ 升溶液加入罐 A，罐 C 中剩下的溶液全部加入罐 B。最后罐 A 和罐 B 中溶液的酸含量都是 $50\%$ 。已知 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $k + m + n$ 。

1
设倒入罐 A 的溶液是 $x$ 升。写出罐 A 中酸的方程。

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自己做

习题 12.4.6

AMC 8

Hui 是个书迷。她买了一本畅销书《Math is Beautiful》。第一天，Hui 读了全书页数的 $\frac{1}{5}$ 再多 12 页；第二天她读了剩下页数的 $\frac{1}{4}$ 再多 15 页。第三天她读了剩下页数的 $\frac{1}{3}$ 再多 18 页。这时她发现只剩下 62 页没读了，她在接下来的一天把它们读完了。这本书有多少页？

习题 12.4.7

AMC 8

在分区赛之前，独角兽队赢了他们篮球比赛场次的 $45\%$ 。分区赛中，他们又赢了 6 场、输了 2 场，最终整个赛季正好赢了一半的比赛。独角兽队一共打了多少场比赛？

习题 12.4.12

AMC 10

Pablo、Sofia 和 Mia 在一次聚会上得到了一些糖果蛋。Pablo 的糖果蛋是 Sofia 的 3 倍，Sofia 的糖果蛋是 Mia 的 2 倍。Pablo 决定把自己的一些糖果蛋分给 Sofia 和 Mia，使三人的糖果蛋一样多。Pablo 应该把他的糖果蛋的几分之几分给 Sofia？

习题 12.4.22（补充题）

AMC 10

某一年，Megapolis 医院的多胞胎统计如下：双胞胎、三胞胎和四胞胎一共有 1000 个婴儿。三胞胎的组数是四胞胎组数的 4 倍，双胞胎的组数是三胞胎组数的 3 倍。这 1000 个婴儿中，有多少个是四胞胎？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.4.8

AMC 8

Ralph 去商店买了 12 双袜子，一共花了 $24。他买的袜子中，有些是 $1 一双，有些是 $3 一双，有些是 $4 一双。如果每种袜子他都至少买了一双，那么 Ralph 买了多少双 $1 的袜子？

习题 12.4.11

AMC 10

Joe 收藏了 23 枚硬币，有 5 分硬币、10 分硬币和 25 分硬币三种。他的 10 分硬币比 5 分硬币多 3 枚，所有硬币的总面值是 320 分。Joe 的 25 分硬币比 5 分硬币多几枚？

习题 12.4.13

AMC 10/12

两个自然数的和是 17,402。其中一个数能被 10 整除。如果把这个数的个位数字擦掉，就得到另一个数。这两个数的差是多少？

习题 12.4.18（补充题）

MATHCOUNTS

一辆汽车以每小时 60 千米的恒定速度经过 A 点。过了一段时间，第二辆汽车以每小时 75 千米的恒定速度经过同一个 A 点，并跟在第一辆车后面行驶。它在驶过 A 点 75 千米后追上了第一辆车。第二辆车经过 A 点比第一辆车晚了多少分钟？

过关检测（第 12.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.4

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用各种解方程技巧。

准备好挑战了吗？这些题目来自 AMC 8、AMC 10 和 AMC 12。给未知数起名字，列出方程，再找找捷径。每道题都有三条提示，卡住了就看看。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 12.4.23（补充题）

AMC 10

两个罐子里的弹珠数量相同，每颗弹珠不是蓝色就是绿色。1 号罐中蓝弹珠与绿弹珠的比是 9 : 1，2 号罐中蓝弹珠与绿弹珠的比是 8 : 1。绿弹珠一共有 95 颗。1 号罐的蓝弹珠比 2 号罐多几颗？

习题 12.4.26（补充题）

AMC 8

下图中的点 A、B、C、D、E、F 各代表 1 到 6 中一个不同的数字。图中的五条线各经过其中的一些点。把每条线上的数字加起来，得到五个和，每条线一个。这五个和的总和是 47。B 代表的数字是几？

习题 12.4.27（补充题）

AMC 12

Kristin 所在的州征收州所得税的方式是：年收入的前 $28000 按 $p\%$ 征税，超过 $28000 的部分按 $(p + 2)\%$ 征税。Kristin 发现她交的州所得税正好是她年收入的 $(p + 0.25)\%$ 。她的年收入是多少？

习题 12.4.28（补充题）

AMC 10/12

油漆工 Paula 和她的两个助手各自以恒定但不同的速度刷漆。他们总是在上午 8:00 开工，三个人每天吃午饭的时间总是一样长。星期一，三个人刷完了一栋房子的 50%，在下午 4:00 收工。星期二，Paula 不在，两个助手只刷了这栋房子的 24%，在下午 2:12 收工。星期三，Paula 一个人干，一直干到晚上 7:12 才把房子刷完。每天的午休时间是多少分钟？

习题 12.4.29（补充题）

AMC 12

12 个海盗约定按下面的方式分一箱金币。第 $k$ 个来拿金币的海盗，拿走箱子里剩下金币的 $\frac{k}{12}$ 。箱子里最初的金币数，是能让每个海盗都分到正整数枚金币的最小数。第 $12$ 个海盗分到多少枚金币？