裂项相消：全部习题

$4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000)$ 的值是多少？

式子 $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}$ 的值是多少？

乘积 $\left(1+\frac{1}{1}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{4}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{5}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{6}\right)$ 的值是多少？

求式子 $100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 + \cdots + 8 - 6 + 4 - 2$ 的值。

乘积 $\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}\right)\left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\right)\left(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right) \cdots$ $\left(\frac{97 \cdot 99}{98 \cdot 98}\right)\left(\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}\right)$ 的值是多少？

$1 + 3 + 5 + \cdots + 2017 + 2019 - 2 - 4 - 6 - \cdots - 2016 - 2018$ 的值是多少？

$\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \cdots \times \frac{2006}{2005}$ 的积是多少？

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdots \frac{18}{20} \cdot \frac{19}{21} \cdot \frac{20}{22}$ 的值是多少？

如果 $n = 10^{2020} - 10^{2019} + 10^{2018} - 10^{2017} + \cdots + 10^2 - 10^1$，那么整数 $n$ 的各位数字之和是多少？

计算 $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{10 \times 11}$

计算 $1 - 2 - 3 + 4 + 5 + 6 - 7 - 8 - 9 - 10 \cdots + 90 + 91$（先是 1 个连续的正数，再是 2 个连续的负数，再是 3 个连续的正数，……）

数列 $a_n$ 定义为：对所有正整数 $n$，$a_n = 3^{1+2+3+\cdots+n}$。Sohil 想计算下面这个式子：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots$。由于他的字迹太潦草，在上面的式子中，他不小心把所有形如 $\frac{a_n}{a_n+1}$ 的分数（例如 $\frac{3^1}{3^1+1}$、$\frac{3^{(1+2)}}{3^{(1+2)}+1}$ 等）前面的乘号都写成了加号。新的式子的值是多少？