质数与整除：全部习题

下面哪个数的最小质因数最小？

(A) 55 (B) 57 (C) 58 (D) 59 (E) 61

250 的两个最小质因数之和是多少？

有多少个三位数能被 13 整除？

两个质数的和是 85。这两个质数的积是多少？

7 位数 74A52B1 和 326AB4C 都是 3 的倍数。C 可能是下面哪个值？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 8

5 位数 $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{1}\,\underline{8}\,\underline{U}$ 能被 9 整除。这个数除以 8 的余数是多少？

既不是质数也不是完全平方数、并且没有小于 50 的质因数的最小正整数是多少？

如果 $3^p + 3^4 = 90$，$2^r + 44 = 76$，$5^3 + 6^s = 1421$，那么 $p$、$r$、$s$ 的积是多少？

对任意正整数 $M$，记号 $M!$ 表示从 1 到 $M$ 所有整数的积。使 $5^n$ 是 $98! + 99! + 100!$ 的因数的最大整数 $n$ 是多少？

Euclid 中学女子垒球队的三名队员有这样一段对话。

Ashley：我刚发现，我们的球衣号码都是两位质数。

Brittany：而你们俩的球衣号码之和，正好是我这个月早些时候生日的日期。

Caitlin：真有意思。你们俩的球衣号码之和，正好是我这个月晚些时候生日的日期。

Ashley：而你们俩的球衣号码之和，正好是今天的日期。

Caitlin 穿几号球衣？

数 AB962C 能被 792 整除，其中 A、B、C 是数字。A 的值是多少？

用数字 1、2、3、4、5 各一次组成五位数 PQRST。三位数 PQR 能被 4 整除，三位数 QRS 能被 5 整除，三位数 RST 能被 3 整除。P 是多少？

$19!$ 的十进制表示是 $121{,}6T5{,}100{,}40M{,}832{,}H00$，其中 $T$、$M$、$H$ 是没有给出的数字。$T + M + H$ 是多少？

如果一个正整数的每一位数字都严格大于前一位数字，就称它为上坡数。例如，1357、89 和 5 都是上坡数，但 32、1240 和 466 不是。有多少个上坡数能被 15 整除？

420 的质因数分解式是什么？

1001 的质因数分解式是什么？

数 64 有这样的性质：它能被自己的个位数字整除。10 到 50 之间有多少个整数有这个性质？

数 8173ABC 能被 165 整除。所有满足条件的三位数 ABC 的平均数是多少？

Ayasha、Beshkno 和 Chenoa 都出生在 2000 年以后。他们每个人的出生年份都在 2000 年之后，并且恰好能被质数 2、3、5 中的一个整除。这三个质数中的每一个都是其中某个人出生年份的因数。他们出生年份之和最小是多少？

Sohil 在想一个 5 位数，它的前 3 位数字组成的数能被 63 整除，中间 3 位数字组成的数能被 8 整除，后 3 位数字组成的数能被 11 整除。他想的数最大可能是多少？

123456 的所有排列中，有多少个能被自己的个位数字整除？例如，123456 能被 6 整除，但 561234 不能被 4 整除。