21. 不定方程 · Mastering AMC 8

21.10%

二次式的因式分解

在本节中，你将能够 发现藏在数或式子里的平方，再用 a² − b² = (a − b)(a + b) 把它拆成两个因数的积。

你能心算 53 × 47 吗？看起来很难。但是 53 × 47 = (50 + 3)(50 − 3) = 2500 − 9 = 2491。平方就藏在乘积里！

不定方程是要求解必须是整数的方程。就这一条规则，却是一种超能力：往往一个含两个未知数的方程就足以求出答案。

窍门是因式分解。一个数一旦写成乘积，你就能列出它的所有因数对。留意平方：两个平方数的差总能拆成两个因数的积。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“剪下并移动长条”。橙色长条被竖了过来。新长方形的宽和高是多少？
试一试： 设 a = 10、b = 1。先别按任何按钮，预测一下 10² − 1² 能写成哪两个数的积。
试一试： 设 a = 100、b = 4。哪两个数相乘等于 9984？
试一试： 打开“显示公式”。为什么 a − b 总是一个因数？

认识概念

注 21.0.1

不定方程问题常常需要把数和式子改写成含未知数的形式，并把代数和数论结合起来使用。说到底，它们就是要求整数解的方程。

概念 21.0.2

对于一般的代数方程，如果有 $n$ 个未知数要求，就需要 $n$ 个方程。但不定方程不是这样，因为我们多了一个条件：每个未知数都是整数。这个条件正是解不定方程的关键。

定理 21.1.1 · 平方差公式

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

定理 21.1.2 · 完全平方公式

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x - y)^2 + 4xy

(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x + y)^2 - 4xy

(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2)

(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

看例题先预测，再揭晓

例 21.3

Omega Learn

9984 有多少个因数？

1
9984 非常接近一个整数。比它稍大的完全平方数是哪个？大多少？

先预测一下：
你的预测

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例 21.4

Omega Learn

在 1 到 100 中，有多少个 $n$ 使得 $16^n - 2 \times 4^n + 1$ 是 49 的倍数？

1
你在这个式子里看出什么因式分解公式了吗？

自己做

习题 21.5.3

AMC 8

乘积 $4^5 \cdot 5^{10}$ 是几位数？

习题 21.5.7

AMC 8

$10^8$ 、 $5^{12}$ 和 $2^{24}$ 这三个数，正确的大小顺序是什么？

竞赛角真实竞赛题

习题 21.5.19（补充题）

EMCC

$3^{2^{2011}} - 2^{2^{2011}}$ 最大的两位正因数是多少？

习题 21.5.20（补充题）

MATHCOUNTS

如果 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $m^2 + 14m - 32 = 3^n$ ，那么 $m + n$ 的值是多少？

过关检测（第 21.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

21.20%

西蒙因式分解技巧

在本节中，你将能够 在方程两边同时加上神奇数，把含 xy、x 和 y 项的方程因式分解（西蒙因式分解技巧）。

求满足 xy + x + y = 14 的整数。一个个猜太慢了。两边同时加 1，左边立刻变成 (x + 1)(y + 1) = 15。现在你只需要找 15 的因数！

只要看到 xy 项、x 项和 y 项同时出现，就可以用西蒙因式分解技巧（简称 SFFT）。想象一个长方形：xy、x 和 y 这三项是它的三块，缺的那个角就是神奇数。

在两边同时加上神奇数。然后列出右边的所有因数对，再把每一组因数对还原成 x 和 y。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 长方形缺了一个角。按下“两边加上神奇数”那个按钮。哪个数补上了这个角？
试一试： 依次点一点 15 的每组因数对。哪几组给出正的 x 和 y？
试一试： 把“x 的系数”改成 −2，“y 的系数”改成 −2，“右边”改成 0。这就是例 21.5！
试一试： 打开“包括负因数”。有没有新的因数对给出正的 x 和 y？

认识概念

定理 21.2.1 · 西蒙因式分解技巧

xy + kx + jy + jk = (x + j)(y + k)

看例题先预测，再揭晓

例 21.5

$x$ 和 $y$ 是正整数，且满足

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}

求 $x + y$ 所有可能的不同取值之和。

1
怎样去掉分母，让问题变简单？

自己做

习题 21.5.5

AMC 8

一个两位数的各位数字之积加上各位数字之和，正好等于这个数本身。这个数的个位数字是几？

习题 21.5.18（补充题）

AMC 10

如果一个两位正整数等于它的（非零）十位数字与个位数字的平方之和，就称它是可爱的。有多少个两位正整数是可爱的？

竞赛角真实竞赛题

习题 21.5.16（补充题）

AMC 12

在计算两个正整数 $a$ 和 $b$ 的乘积时，Ron 把两位数 $a$ 的数字顺序弄反了。他算出的错误乘积是 161。 $a$ 与 $b$ 的正确乘积是多少？

习题 21.5.10

AMC 8

一个棒球联赛由两个分区组成，每个分区 4 支球队。每支球队与本分区的每支其他球队各比赛 N 场，与另一分区的每支球队各比赛 M 场，其中 $N > 2M$ 且 $M > 4$ 。每支球队的赛程共 76 场。一支球队在本分区内要打多少场比赛？

过关检测（第 21.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

21.30%

趣味例题

在本节中，你将能够 把文字谜题变成方程：数字变成未知数，再用整数的限制条件完成剩下的工作。

拿 952，把它倒过来：259。相减：952 − 259 = 693 = 99 × 7。换一个数试试。每次得到的都是 99 的倍数！

把一个三位数写成 100h + 10t + u，其中 h、t、u 是它的各位数字。它的倒序数是 100u + 10t + h。两者相减，十位数字被消掉了：结果是 99(h − u)。

每个数字都是 0 到 9 之间的整数。正是这短短的一串可能，让这些谜题变得可以解开。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 改变十位数字。差变了吗？为什么没变？
试一试： 多试几个数。差总是 99 的倍数吗？
试一试： 让差恰好等于 594。百位数字减个位数字必须等于多少？

看例题先预测，再揭晓

例 21.1

Omega Learn

把一个三位数的各位数字倒序排列，得到一个新数。原数比新数大 594。原数最大可能是多少？

1
怎样用未知数表示一个三位数？

例 21.2

Omega Learn

把一个十位数字是 7 的两位数的各位数字倒序排列；再把一个百位数字是 3、十位数字是 5 的三位数的各位数字也倒序排列。两个倒序后的新数之和比原来两个数之和大 288。求原来两个数的和。

1
给未知的数字起个名字。原来的两个数怎样表示？

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例 21.6

AMC 8

下图中的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 各代表 1 到 6 中一个不同的数字。图中的五条线各经过其中的一些点。把每条线上的数字相加，得到五个和，每条线一个。这五个和的总和是 47。 $B$ 代表的数字是几？

1
列出每条线上的点。哪个点在最多的线上？

先预测一下：

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自己做

习题 21.5.14（补充题）

把一个三位数的各位数字倒序排列后，得到的数比原数大 297。原数最大可能是多少？

习题 21.5.15（补充题）

AMC 8

一个三位数的百位数字比个位数字大 2。把这个三位数的各位数字倒序排列，再用原来的三位数减去得到的数。结果的个位数字是几？

习题 21.5.1

AMC 8

Peter、Emma 和 Kyler 三人互相下国际象棋。Peter 赢了 4 局，输了 2 局。Emma 赢了 3 局，输了 3 局。如果 Kyler 输了 3 局，他赢了几局？

竞赛角真实竞赛题

习题 21.5.6

AMC 8

在下面的乘法算式中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是互不相同的数字。 $A + B$ 等于多少？

\begin{array}{r} A\,B\,A \\ \times \quad C\,D \\ \hline C\,D\,C\,D \end{array}

习题 21.5.17（补充题）

AMC 12

回文数（例如 83438）是指各位数字倒序排列后仍保持不变的数。 $x$ 和 $x + 32$ 分别是三位回文数和四位回文数。 $x$ 的各位数字之和是多少？

习题 21.5.9

AMC 8

Euclid 高中篮球队打完最后一场比赛后，统计发现全队得分的 $\frac{1}{4}$ 是 Alexa 得的， $\frac{2}{7}$ 是 Brittany 得的。Chelsea 得了 15 分。其余 7 名队员每人得分都不超过 2 分。其余 7 名队员一共得了多少分？

习题 21.5.22（补充题）

AMC 10

在美国，硬币的厚度如下：1 美分（penny）1.55 毫米；5 美分（nickel）1.95 毫米；10 美分（dime）1.35 毫米；25 美分（quarter）1.75 毫米。如果一摞这些硬币恰好高 14 毫米，这摞硬币有多少枚？

过关检测（第 21.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

21.40%

三次式的因式分解（选学）

在本节中，你将能够 对立方和与立方差进行因式分解，并展开 (x + y)³。

999 是质数吗？它等于 1000 − 1 = 10³ − 1³。立方也能因式分解：999 = 9 × 111。

本节是选学内容。立方不像平方那样拆得那么整齐，但 a³ − b³ 总有因式 a − b，而 a³ + b³ 总有因式 a + b。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 试试 a = 17、b = 1。17³ − 1 的两个因数分别是多少？
试一试： 切换到 a³ + b³。a + b 总是一个因数吗？
试一试： 打开“显示公式”。比较 a³ − b³ 和 a³ + b³ 的第二个因式。哪里变了？

认识概念

定理 21.4.1 · 立方差公式

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

定理 21.4.2 · 立方和公式

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

定理 21.4.3 · 完全立方公式

(x + y)^3 = x^3 + 3xy(x + y) + y^3

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3xy(x - y) - y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

自己做

习题 21.5.12

AMC 8

在 $2^8 + 1$ 和 $2^{18} + 1$ 之间（包括这两个数）有多少个完全立方数？

习题 21.5.2

AMC 8

正整数 $x$ 和 $y$ 分别是满足下列条件的最小正整数：360 与 $x$ 的积是完全平方数，360 与 $y$ 的积是完全立方数。 $x$ 与 $y$ 的和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 21.5.13

AIME

有一个质数 $p$ ，使得 $16p + 1$ 是某个正整数的立方。求 $p$ 。

过关检测（第 21.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

21.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有技巧。

最后一站：一组混合的竞赛题。有的需要因式分解，有的需要仔细地分类讨论，还有一道需要一个巧妙的不变量。每道题都有三条提示，卡住了就看看吧。

想在一页里看到本章的全部习题吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 21.5.4

AMC 8

有多少个正整数 $n$ ，使得 $\frac{n}{3}$ 和 $3n$ 都是三位整数？

习题 21.5.8

AMC 8

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是非零实数，且 $a + b + c = 0$ 。 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$ 可能取哪些值？

(A) 0 (B) 1 和 $-1$ (C) 2 和 $-2$ (D) 0、2 和 $-2$ (E) 0、1 和 $-1$

习题 21.5.11

AMC 10

前 $n$ 个正整数的和不是前 $n$ 个正整数的积的因数。满足这个条件的最大三位正整数 $n$ 是多少？

习题 21.5.21（补充题）

AMC 10

当 $x < 0$ 时，下列哪一项与 $\sqrt{\dfrac{x}{1 - \frac{x-1}{x}}}$ 相等？

(A) $-x$ (B) $x$ (C) $1$ (D) $\sqrt{\frac{x}{2}}$ (E) $x\sqrt{-1}$

习题 21.5.23（补充题）

AMC 10

Boris 有一台神奇的换币机。投入一枚 25 美分硬币，它会吐出五枚 5 美分硬币；投入一枚 5 美分硬币，它会吐出五枚 1 美分硬币；投入一枚 1 美分硬币，它会吐出五枚 25 美分硬币。Boris 一开始只有一枚 1 美分硬币。反复使用这台机器后，Boris 可能拥有下列哪个金额？

(A) $3.63 (B) $5.13 (C) $6.30 (D) $7.45 (E) $9.07