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Mastering
AMC 8
数论 · 第 22 章

数论杂题

回文数、钱币问题、数字机器和麦乐鸡定理：一整套考场上用得上的数字小技巧。

这一章讲什么？
你需要先会
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22.10%

回文数

在本节中，你将能够 认出回文数，并且只选前一半的数字来数出回文数的个数。

把 383 倒过来读，还是 383！像 7、44 和 12321 这样的数也有同样的本领。三位的回文数一共有多少个？

回文数就像一面镜子：只要选好了前一半的数字，后一半就被定死了。所以数回文数时，只要数前一半就行。第一位不能是 0，所以有 9 种选择；其余每位都有 10 种选择。

观看回文数讲解视频。

动手探索先玩，再学公式

3 位回文数：只需选前 2 位，9 × 10 = 90

位数3

点实线框可以改变数字。虚线框会照抄它的镜像位置。

9 × 10 = 90 个 3 位回文数

383 是回文数。3 位回文数：9 × 10 = 90

认识概念

定义 22.1.1 · 回文数

回文数是正着读和倒着读都一样的数。

例如，77、4444、383383 和 1232112321 都是回文数，但 123123 不是。

自己做

习题 22.5.17（补充题）

AIME

求所有三位回文数的算术平均数。（回忆一下：回文数是正着读和倒着读都一样的数，例如 777 或 383。）

过关检测（第 22.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

四位回文数一共有多少个？

2

五位回文数一共有多少个？

3

三位回文数中有多少个是偶数？

22.20%

钱币问题

在本节中，你将能够 通过先把硬币放到一边、分情况讨论和列方程，解决硬币和价钱的问题。

Josh 有 9 枚硬币，一共值 101 美分，而且每种硬币至少有 1 枚。你能推出他口袋里到底是哪些硬币吗？

钱币问题有两类线索：硬币有多少枚，以及它们一共值多少钱。下面三个窍门很有用：

  • 题目说你一定有的硬币，先把它们放到一边，再解决剩下的小问题。
  • 按面值最大的硬币分情况讨论，因为它的选择最少。
  • 看看最后一位数字。只有 1 美分硬币能让金额的末位变成 1。

动手探索先玩，再学公式

用 25, 10, 5, 1 凑出 30 美分：共 18 种方法

目标金额30¢

目标：凑出 30¢。

25 美分
25 美分的个数0
10 美分
10 美分的个数0
5 美分
5 美分的个数0
1 美分
1 美分的个数0
0¢ 共 0 枚硬币
还差 30¢

25 美分×0，10 美分×0，5 美分×0，1 美分×0：0¢，共 0 枚硬币。还差 30¢

看例题先预测，再揭晓

例 22.1

Omega Learn

Josh 有一些 25 美分、10 美分、5 美分和 1 美分的硬币，一共值 101 美分。他一共有 9 枚硬币，每种硬币至少 1 枚。他有多少枚 5 美分和 10 美分的硬币？

用 25, 10, 5, 1 凑出 101 美分（恰好 9 枚硬币，每种至少 1 个）：共 1 种方法

目标：凑出 101¢，恰好 9 枚硬币，每种至少 1 个。

25 美分
25 美分的个数1
10 美分
10 美分的个数1
5 美分
5 美分的个数1
1 美分
1 美分的个数1
41¢ 共 4 枚硬币
还差 60¢，还要再加 5 枚硬币

25 美分×1，10 美分×1，5 美分×1，1 美分×1：41¢，共 4 枚硬币。还差 60¢，还要再加 5 枚硬币

  1. 1

    有没有办法把问题简单化，去掉“每种硬币至少 1 枚”这个条件？

    先预测一下：

例 22.2

MATHCOUNTS

一家餐厅卖三种杯型的饮料：小杯 $1.20，中杯 $1.30，大杯 $1.80。一桌十个人，每人点了一杯饮料，税前一共花了 $14.90。有多少人点了大杯？

用 120, 130, 180 凑出 1490 美分（恰好 10 杯饮料）：共 1 种方法

目标：凑出 $14.90，恰好 10 杯饮料。

小杯
小杯的个数10
中杯
中杯的个数0
大杯
大杯的个数0
$12.00 共 10 杯饮料
还差 $2.90

小杯×10，中杯×0，大杯×0：$12.00，共 10 杯饮料。还差 $2.90

  1. 1

    假设十个人都点了小杯。账单是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 22.5.12

Omega Learn Math Contest

Josh 带着若干美元去商店，钱数在 50 到 100 之间（包括 50 和 100）。他把三分之一的钱花在了午饭上。然后他付了 15 美元小费。之后，他把剩下的钱的三分之二存进了银行账户。接着，他把剩下的钱的五分之一捐给了慈善机构。这时他剩下的钱是整数美元。他一开始有多少美元？

竞赛角真实竞赛题

习题 22.5.1

AMC 8

Loki、Moe、Nick 和 Ott 是好朋友。Ott 没有钱，但其他人都有。Moe 把自己钱的五分之一给了 Ott，Loki 把自己钱的四分之一给了 Ott，Nick 把自己钱的三分之一给了 Ott。每个人给 Ott 的钱一样多。现在 Ott 拥有的钱占这群人所有钱的几分之几？

习题 22.5.2

AMC 8

你有九枚硬币：由 1 美分、5 美分、10 美分和 25 美分硬币组成，总价值 $1.02，每种硬币至少一枚。你一定有多少枚 10 美分硬币？

习题 22.5.3

AMC 10A

Paula 的钱包里所有 1 美分、5 美分、10 美分和 25 美分硬币的平均面值是 20 美分。如果她再多一枚 25 美分硬币，平均面值就是 21 美分。她的钱包里有多少枚 10 美分硬币？

习题 22.5.4

AMC 10A

Joe 收集了 23 枚硬币，由 5 美分、10 美分和 25 美分的硬币组成。他的 10 美分硬币比 5 美分硬币多 3 枚，所有硬币的总价值是 320 美分。Joe 的 25 美分硬币比 5 美分硬币多几枚？

过关检测（第 22.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

你有 6 枚硬币，都是 5 美分和 10 美分的，一共值 45 美分。你有几枚 10 美分硬币？

2

铅笔每支 30 美分，橡皮每块 50 美分。你一共买了 7 件，花了 $3.10。你买了几块橡皮？

3

Mia 只有 10 美分和 25 美分的硬币。她的 10 美分硬币个数是 25 美分硬币的两倍，一共值 $1.35。她有几枚 25 美分硬币？

22.30%

整数运算

在本节中，你将能够 利用质因数分解和倒推法，一步一步跟踪数字机器和各种运算。

有一台机器：偶数就除以 2，奇数 N 就变成 3N + 1。放进 7，会依次得到 22、11、34、17、52、26。如果六步之后出来的是 1，放进去的是什么数？

整数运算问题会描述一个过程。你的任务是跟踪这个过程，但不必每一步都亲手算出来。

  • 利用质因数分解。 乘法和除法只会改变指数，所以只要数指数就行。
  • 知道结果时，就倒推。问自己：“在这之前可能是什么数？”
  • 平均数其实是伪装的总数： 总数 = 平均数 × 个数。

动手探索先玩，再学公式

3N + 1 机器：6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1（8 次操作到达 1）

起始 N6
起始： 6
6
6 是偶数：除以 2
  1. 6
0 次操作

操作 0 次后：6。6 是偶数：除以 2

看例题先预测，再揭晓

例 22.3

MATHCOUNTS

John 在下面的式子里加上若干对括号，使它成为一个有效的数学式子。John 的式子的值最小可以是多少（要求是整数）？

1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9÷101 \div 2 \div 3 \div 4 \div 5 \div 6 \div 7 \div 8 \div 9 \div 10
  1. 1

    不管括号怎么加，每个数最后不是在上面（分子）就是在下面（分母）。1 和 2 一定在哪里？

    先预测一下：
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例 22.4

Omega Learn

Sohil 从 MATHCOUNTS 得到了一台新的 TI-84 计算器。他非常兴奋，于是在计算器里输入了式子 26×35×572^6 \times 3^5 \times 5^7。每一次操作，Sohil 都会把这个数除以它最大的质因数 pp，然后再把这个数乘以 p−1p - 1。他一直这样做，直到最后得到 1。包括最后一次操作在内，一共需要多少次操作？

质数机器：300 → 240 → 192 → 128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1（10 次操作到达 1）

2 的指数2
3 的指数1
5 的指数2
7 的指数0
起始： 22⋅3⋅522^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}
300=22⋅3⋅52= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}
最大的质因数是 5：除以 5，再乘 4
  1. 300
0 次操作

操作 0 次后：300。最大的质因数是 5：除以 5，再乘 4

一个更小的“双胞胎”：先在 $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ 上试试这台机器。
  1. 1

    一开始，先用哪个质数去除？

    先预测一下：

例 22.5

AMC 8

把一个正整数 NN 输入一台机器，输出的数按照下表的规则计算。

输入 输出
NN 是偶数 N2\frac{N}{2}
NN 是奇数 3N+13N + 1

例如，输入 N=7N = 7，机器会输出 3⋅7+1=223 \cdot 7 + 1 = 22。如果把输出的数再反复输入机器五次，最后的输出是 26。

7→22→11→34→17→52→267 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26

对另一个起始值 NN 进行同样的 6 步过程，最后的输出是 1。所有这样的整数 NN 之和是多少？

N→‾→‾→‾→‾→‾→1N \to \underline{\quad} \to \underline{\quad} \to \underline{\quad} \to \underline{\quad} \to \underline{\quad} \to 1

3N + 1 机器：7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → … → 1（16 次操作到达 1）

起始 N7
起始： 7
26
26 是偶数：除以 2
  1. 7
  2. →22
  3. →11
  4. →34
  5. →17
  6. →52
  7. →26
6 次操作

操作 6 次后：26。26 是偶数：除以 2

书中的例子：机器从 7 开始运行。
  1. 1

    倒着推。哪些数放进机器后会输出 11？

    先预测一下：
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自己做

习题 22.5.7

AMC 10A

Patrick 老师给 15 名学生教数学。他批改试卷时发现，批完除 Payton 以外所有人的试卷后，全班平均分是 80 分。批完 Payton 的试卷后，平均分变成了 81 分。Payton 这次考试得了多少分？

习题 22.5.5

AMC 8

Isabella 在数学课上要参加四次满分 100 分的测验。她的目标是这几次测验的平均分达到 95 分。她前两次测验得了 97 分和 91 分。看到第三次测验的成绩后，她发现自己仍然能达成目标。她第三次测验最低可能得了多少分？

习题 22.5.20（补充题）

MATHCOUNTS

设 C 是一个数字，使三位数 2C8 与 3C1 的积是五位数 90C58，那么 C 的值是多少？

习题 22.5.16（补充题）

MATHCOUNTS

前 100 个三角形数中，能被 7 整除的占几分之几？答案用最简分数表示。

竞赛角真实竞赛题

习题 22.5.6

AMC 8

Laila 参加了五次数学测验，每次满分 100 分。Laila 每次的成绩都是 0 到 100（含）之间的整数。Laila 前四次测验的成绩相同，最后一次的成绩更高。她五次测验的平均分是 82 分。Laila 最后一次测验的成绩有多少种可能的值？

习题 22.5.8

AMC 8

把数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 各用一次，组成两个五位数，使它们的和尽可能大。下面哪个数可能是其中之一？

(A) 76531 (B) 86724 (C) 87431 (D) 96240 (E) 97403

习题 22.5.9

Laura 把两个三位正整数相加。这两个数的六个数字互不相同。Laura 得到的和是一个三位数 SS。SS 的各位数字之和最小可能是多少？

习题 22.5.10

AMC 8

能整除 134−11413^4 - 11^4 的 2 的最大幂是多少？

过关检测（第 22.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

把 12 放进 3N + 1 机器（偶数除以 2，奇数 NN 变成 3N+13N + 1）。要多少次操作才能到达 1？

2

Sohil 的机器每次除以最大的质因数 pp，再乘以 p−1p - 1。从 23×322^3 \times 3^2 开始，要多少次操作才能到达 1？

3

在 1÷2÷3÷41 \div 2 \div 3 \div 4 中加括号。它的值最大可能是多少？

22.40%

麦乐鸡定理

在本节中，你将能够 用 ab − a − b 求出两种面值的硬币凑不出的最大金额。

你的国家只发行 3 美分和 5 美分的硬币。你可以正好付 8 美分或 11 美分。哪个价钱是你永远没法正好付出的最大价钱？

只要你能连续凑出 aa 个数，后面的所有数就都能凑出来：每次再加一枚 aa 硬币就行。只要两种面值没有公因数，麦乐鸡定理就能准确告诉你空缺在哪里结束。

动手探索先玩，再学公式

每包 3 个和每包 5 个：凑不出的最大数是 3·5 − 3 − 5 = 7；共有 4 个正整数凑不出来

包装 a3
包装 b5

先预测：哪些数能凑出来？然后再标出来。

检查一个数11
11 = 2 × 3 + 1 × 5
找出凑不出的最大数。

每包 3 个和每包 5 个。11 = 2 × 3 + 1 × 5。找出凑不出的最大数。

认识概念

定理 22.4.1 · 麦乐鸡定理

如果 aa 和 bb 互质，那么不能表示成 aa 与 bb 的非负整数倍之和的最大数是

ab−a−bab - a - b

对于互质的正整数 a,ba, b，恰好有

(a−1)(b−1)2\frac{(a-1)(b-1)}{2}

个正整数不能表示成 ma+nbma + nb 的形式，其中 mm 和 nn 是非负整数。

过关检测（第 22.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

你只有 3 美分和 5 美分的硬币。你不能正好付出的最大金额是多少？

2

一个游戏每走一步得 4 分或 7 分。有多少个正整数分数是不可能得到的？

3

贴纸有 5 张一包和 8 张一包两种。你不能正好买到的最大贴纸数量是多少？

22.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有技巧。

逻辑推理时间到！读懂每一条线索，先用能把答案锁定的那一条，最后再用其他所有线索检查你的答案。

想在一页上看到本章所有的题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 22.5.11

AMC 8

学生们猜 Norb 的年龄分别是 24、28、30、32、36、38、41、44、47 和 49。Norb 说：“你们至少有一半人猜小了，有两个人只差一岁，而且我的年龄是一个质数。”Norb 多少岁？

习题 22.5.13

AMC 8

一场比赛中有六支队伍，每两支队伍之间比赛两场。赢一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得 0 分。所有比赛结束后，发现前三名队伍的总分相同。前三名队伍每队的总分最多可能是多少？

习题 22.5.14

Omega Learn Math Contest

Bryan 在 1 到 1000 之间选了一个数。他给出了关于这个数的几个条件：

  1. 这个数没有大于 5 的质因数
  2. 这个数不是完全幂（指数大于 1 的幂）
  3. 这个数有 6 个正因数
  4. 这个数除以 7 余 5

根据这些条件，求 Bryan 可能选的所有数之和。

习题 22.5.15（补充题）

MATHCOUNTS

本赛季的八场比赛中，Kelly 的篮球队分别得了 22、30、33、44、50、55、61 和 66 分。他们有三场的得分恰好是对手的三倍，有三场的得分恰好是对手的两倍。他们输了两场，每场都输 4 分。对手一共得了多少分？

习题 22.5.18（补充题）

AMC 8

要在下面的方格表中填入整数，使每一行的数之和与每一列的数之和都相等。有四个数没有填。左下角的数 xx 比其他三个没填的数都大。xx 最小可能是多少？

习题 22.5.19（补充题）

AMC 8

一位科学家走过一片森林，记录了一排 5 棵树的高度，都是整数。她观察到，每棵树的高度要么是它右边那棵树的两倍，要么是一半。不巧的是，雨水落在她的笔记本上，一些数据丢失了。她的笔记如下所示，空白处表示丢失的数。根据她的观察，科学家成功还原了丢失的数据。这些树的平均高度是多少米？

树 高度
树 1 ___ 米
树 2 11 米
树 3 ___ 米
树 4 ___ 米
树 5 ___ 米
平均高度 ___.2 米

习题 22.5.21（补充题）

Omega Learn

我心里想的是一个 1000 到 9999（含）之间的数。它满足下列条件：

  1. 从左到右，各位数字严格递增
  2. 第 1 位与第 2 位数字之和等于第 3 位数字
  3. 第 2 位数字比第 1 位数字大 1 或 2
  4. 前 3 位数字之和大于第 4 位数字
  5. 这个数平方后，个位数字是 1
  6. 这个数能被 37 整除

我心里想的是哪个数？