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AMC 8
几何 · 第 24 章

三角形

求出任意三角形的面积，认识特殊直角三角形，并学会运用勾股定理和角平分线。

这一章讲什么？
你需要先会
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24.10%

三角形的面积

在本节中，你将能够 用底和高、用三边，或者用内切圆、外接圆求出三角形的面积。

抓住三角形顶上的角，保持高度不变，把它往旁边滑。三角形歪了，也被拉长了。它变大了吗？试试看！

三角形的面积是底乘高的一半。高是从顶角竖直向下到底边所在直线的距离。让顶角沿着一条和底边平行的直线滑动， 高保持不变，所以面积也保持不变。

知道三条边，却不知道高？用海伦公式。知道三角形里面那个圆（内切圆）或外面那个圆（外接圆）的半径？ 这两种情况也各有公式。

动手探索先玩，再学公式

底 6，高 4：面积 = ½ × 6 × 4 = 12

底6
h = 4b = 6BCA
面积 = 12
½ × 6 × 4 = 12

底 6，高 4：面积 = ½ × 6 × 4 = 12

认识概念

定理 24.1.1 · 用底和高求面积

底为 bb、高为 hh 的三角形，面积是

12⋅b⋅h\frac{1}{2}\cdot b\cdot h

高是从顶点向底边所在直线作的垂线段。

底 6，高 4：面积 = ½ × 6 × 4 = 12

底6
h = 4b = 6BCA
面积 = 12
½ × 6 × 4 = 12

底 6，高 4：面积 = ½ × 6 × 4 = 12

定理 24.1.2 · 海伦公式

三边为 a,b,ca, b, c、半周长为 ss 的三角形，面积是

s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

半周长就是周长的一半：s=a+b+c2s = \frac{a+b+c}{2}。

定义 24.1.3 · 内切圆半径

三角形的内切圆半径是三角形内切圆的半径。

定义 24.1.4 · 内心

三角形的内心是三条角平分线的交点。这个点也是内切圆的圆心，它到三条边的距离都相等。

定理 24.1.5 · 用内切圆半径求三角形面积

内切圆半径为 rr（即三角形内切圆的半径）、半周长为 ss 的三角形，面积是：

内切圆半径⋅半周长=rs\text{内切圆半径}\cdot\text{半周长} = rs

内切圆半径 r = 1.91，半周长 s = 10.45：r × s = 20

底8
IrBCA
面积 = 20
r × s = 1.91 × 10.45 = 20

内切圆半径 r = 1.91，半周长 s = 10.45：r × s = 20

定理 24.1.7

直角三角形的内切圆半径 rr：

r=12(a+b−c)r = \frac{1}{2}(a+b-c)

其中 aa 和 bb 是三角形的两条直角边，cc 是斜边。

内切圆半径 r = 2，半周长 s = 12：r × s = 24；直角三角形：½(8 + 6 − 10) = 2

底8
IrBCA
面积 = 24
r × s = 2 × 12 = 24

内切圆半径 r = 2，半周长 s = 12：r × s = 24；直角三角形：½(8 + 6 − 10) = 2

定义 24.1.8 · 外接圆半径

三角形的外接圆半径是经过三角形三个顶点的那个圆（外接圆）的半径。

定义 24.1.9 · 外心

三角形的外心是三条边的垂直平分线（平分一条线段并且和它垂直的直线）的交点。这个点也是外接圆的圆心，它到三个顶点的距离都相等。

定理 24.1.10 · 用外接圆半径求三角形面积

外接圆半径为 RR（即三角形外接圆的半径）、三边为 a,b,ca, b, c 的三角形，面积是

abc4R\frac{abc}{4R}

外接圆半径 R = 3.73；三边 7、6.4、5.83：abc ÷ 4R = 17.5

底7
ORBCA
面积 = 17.5
abc ÷ 4R = 261.35 ÷ 14.93 = 17.5

外接圆半径 R = 3.73；三边 7、6.4、5.83：abc ÷ 4R = 17.5

看例题先预测，再揭晓

例 24.1

EMCC

已知 △ABC\triangle ABC 的三条高的长度分别是 157\frac{15}{7}、55 和 33，△ABC\triangle ABC 面积的平方是多少？

  1. 1

    把面积记作 KK。每条高都对应一条边：K=12⋅边⋅高K = \frac{1}{2}\cdot\text{边}\cdot\text{高}。那么哪条边最长：对应短高的那条，还是对应长高的那条？

    先预测一下：
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自己做

习题 24.6.1

AMC 8

图中的十二边形画在 1 厘米×1 厘米1\text{ 厘米}\times 1\text{ 厘米} 的方格纸上。这个图形的面积是多少 cm2\text{cm}^2？

习题 24.6.3

AMC 8

下面四个全等的大正方形，每个都被分成若干个全等的三角形或长方形，并且有一部分被加粗。被加粗的部分占总面积的百分之几？

习题 24.6.2

AMC 8

顶点为 A=(1,3)A = (1, 3)、B=(5,1)B = (5, 1)、C=(4,4)C = (4, 4) 的三角形画在 6×56\times 5 的方格上。这个三角形覆盖了方格的几分之几？

习题 24.6.10

AMC 8

由直线 y=5y = 5、y=1+xy = 1 + x 和 y=1−xy = 1 - x 围成的三角形，面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.6

AMC 8

三角形地块 ACD 位于 Aspen 路、Brown 路和一条铁路之间。Main 街东西走向，铁路南北走向。图中的数字表示距离，单位是英里。铁轨的宽度忽略不计。地块 ACD 的面积是多少平方英里？

习题 24.6.7

AMC 8

在正方形 ABCEABCE 中，AF=2FEAF = 2FE，CD=2DECD = 2DE。△BFD\triangle BFD 的面积与正方形 ABCEABCE 的面积之比是多少？

习题 24.6.9

AMC 8

图中 5×55\times 5 方格里涂阴影的风车，面积是多少？

习题 24.6.14（补充题）

一个圆内切于边长为 6、8 和 10 的三角形，这个圆的半径是多少？

过关检测（第 24.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个三角形的底是 10，高是 7。它的面积是多少？

2

用海伦公式：三边为 5、5 和 6 的三角形，面积是多少？

3

一个三角形的面积是 24，半周长是 12。它的内切圆半径是多少？

24.20%

特殊三角形

在本节中，你将能够 运用等边三角形、45°-45°-90° 三角形、30°-60°-90° 三角形和 13-14-15 三角形的边长比。

有些三角形在一场又一场比赛里反复出现。把它们的边长比记得滚瓜烂熟，就能省掉好几页的计算。来认识这四位“贵宾”三角形吧！

你看：30°-60°-90° 三角形恰好是等边三角形的一半，所以它的斜边是短直角边的 2 倍。45°-45°-90° 三角形是正方形的一半，所以它的斜边就是正方形的对角线。

13-14-15 三角形是两个直角三角形沿着长为 12 的高拼在一起得到的。

动手探索先玩，再学公式

等边三角形：三边 2, 2, 2，高 √3，面积 √3

边长 a2
√3122260°60°60°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 3\sqrt{3} ≈ 1.73

等边三角形，边长 a = 2：三边 2, 2, 2，高 √3，面积 √3

认识概念

定理 24.2.1 · 等边三角形

如果等边三角形的边长是 aa：

三角形的高=32a\text{三角形的高} = \frac{\sqrt{3}}{2}a

这可以直接由 30−60−9030-60-90 三角形得到。

三角形的面积=34a2\text{三角形的面积} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2

等边三角形：三边 2, 2, 2，高 √3，面积 √3

边长 a2
√3122260°60°60°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 3\sqrt{3} ≈ 1.73

等边三角形，边长 a = 2：三边 2, 2, 2，高 √3，面积 √3

定理 24.2.2 · 45°-45°-90° 三角形

如果 45°-45°-90° 三角形的直角边长是 aa：

三角形的斜边=2×直角边长=2a\text{三角形的斜边} = \sqrt{2}\times\text{直角边长} = \sqrt{2}a
三角形的面积=12×直角边长2=12a2\text{三角形的面积} = \frac{1}{2}\times\text{直角边长}^2 = \frac{1}{2}a^2

45-45-90 三角形：三边 3, 3, 3√2，面积 9/2

直角边 a3
333√245°45°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 92\frac{9}{2}

45-45-90 三角形，直角边 a = 3：三边 3, 3, 3√2，面积 9/2

定理 24.2.3 · 30°-60°-90° 三角形

如果 30°-60°-90° 三角形的短直角边长是 aa：

三角形的长直角边=3×短直角边=3a\text{三角形的长直角边} = \sqrt{3}\times\text{短直角边} = \sqrt{3}a
三角形的斜边=2×短直角边=2a\text{三角形的斜边} = 2\times\text{短直角边} = 2a
面积=32×短直角边2=32a2\text{面积} = \frac{\sqrt{3}}{2}\times\text{短直角边}^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2

30-60-90 三角形：三边 2, 2√3, 4，面积 2√3

短直角边 a2
22√3430°60°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 232\sqrt{3} ≈ 3.46

30-60-90 三角形，短直角边 a = 2：三边 2, 2√3, 4，面积 2√3

定理 24.2.4 · 13-14-15 三角形

如果三角形的三条边是 13、14 和 15，它可以分成两个直角三角形，边长分别是：5,12,135, 12, 13 和 9,12,159, 12, 15。

这个三角形的面积 =12×14×12=84= \frac{1}{2}\times 14\times 12 = 84

13-14-15 三角形：三边 13, 14, 15，高 12，面积 84

倍数 k1
1259131415

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 8484

13-14-15 三角形，倍数 k = 1：三边 13, 14, 15，高 12，面积 84

竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.15（补充题）

MATHCOUNTS

如图，一个单位正方形里放着四个互不重叠的全等等边三角形。其中一个三角形的边长最大可能是多少？

过关检测（第 24.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个等边三角形的边长是 6。它的高是多少？

2

一个 45°-45°-90° 三角形的直角边长都是 5。它的斜边有多长？

3

一个 30°-60°-90° 三角形的斜边长是 10。它的短直角边有多长？

24.30%

勾股定理

在本节中，你将能够 用 a² + b² = c² 求出直角三角形缺少的边，并快速认出勾股数。

四个一模一样的直角三角形放在一个大正方形里。把它们挪来挪去，空白部分的形状变了，大小却没变。就这一张图， 证明了几何里最有名的定理。

在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两条直角边上的正方形面积之和。把常见的勾股数背下来。 它们能让你不用开平方，而且竞赛题特别喜欢用它们。

动手探索先玩，再学公式

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²，所以 c = 5（一组勾股数）

直角边 a3
直角边 b4
c²ab
3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = 5：这是一组勾股数！

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²，所以 c = 5（一组勾股数）

认识概念

定理 24.3.1 · 勾股定理

直角边为 aa 和 bb、斜边为 cc 的直角三角形满足下面的关系：

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²，所以 c = 5（一组勾股数）

直角边 a3
直角边 b4
c²ab
3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = 5：这是一组勾股数！

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²，所以 c = 5（一组勾股数）

事实 24.3.2 · 重要的勾股数

重要的勾股数

3,4,53, 4, 5 · 5,12,135, 12, 13 · 7,24,257, 24, 25 · 8,15,178, 15, 17 · 9,40,419, 40, 41 · 20,21,2920, 21, 29

把一组勾股数中的每个数都乘以同一个数，得到的仍然是一组勾股数。例如，下面这些都是勾股数：3,4,53, 4, 5 · 6,8,106, 8, 10 · 9,12,159, 12, 15 · 12,16,2012, 16, 20 · 15,20,2515, 20, 25。

定理 24.3.3 · 直角三角形的特殊性质

在直角三角形 ABCABC 中，BB 是直角，设 DD 是从 BB 向 ACAC 作垂线的垂足。下面这几个三角形相似：

△ABC∼△ADB∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle ADB \sim \triangle BDC

斜边上的高的长度：BD=AB⋅BCACBD = \frac{AB\cdot BC}{AC}。

还要注意：

AD⋅CD=BD2AD⋅AC=AB2CD⋅CA=CB2AD\cdot CD = BD^2 \qquad AD\cdot AC = AB^2 \qquad CD\cdot CA = CB^2

直角在 B，BC = 3，AB = 4，AC = 5：AD = 16/5，CD = 9/5，BD = 12/5

直角边 a3
直角边 b4
ABCD3412/5
AC = 5, BD = 4·3 ÷ 5 = 12/5
AD = 16/5, CD = 9/5; AD·CD = 144/25 = BD²

直角在 B，BC = 3，AB = 4，AC = 5：AD = 16/5，CD = 9/5，BD = 12/5

自己做

习题 24.6.8

AMC 8

长方形 ABCDABCD 和直角三角形 DCEDCE 的面积相等。如图，它们拼成一个梯形。DEDE 是多少？

习题 24.6.4

AMC 8

在下图中，在 BC‾\overline{BC} 上取点 DD，使 △ACD\triangle ACD 和 △ABD\triangle ABD 的周长相等。△ABD\triangle ABD 的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.5

AMC 8

在下图所示的凹四边形 ABCDABCD 中，∠BCD\angle BCD 是直角，AB=12AB = 12，BC=4BC = 4，CD=3CD = 3，AD=13AD = 13。四边形 ABCDABCD 的面积是多少？

过关检测（第 24.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个直角三角形的直角边是 9 和 12。斜边有多长？

2

一个直角三角形的斜边是 26，一条直角边是 10。另一条直角边有多长？

3

一个直角三角形的直角边是 6 和 8。从直角顶点到斜边的高有多长？

24.40%

三角形的性质

在本节中，你将能够 运用塞瓦线、中线和重心，并利用直角三角形斜边上的中线解题。

你能把一块硬纸板三角形放在铅笔尖上保持平衡吗？只有一个点能做到。它就是三条中线的交点！

中线把一个顶点和对边的中点连起来。三条中线交于重心。重心在每条中线上，到顶点的距离是整条中线的三分之二。

在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离都相等。

动手探索先玩，再学公式

重心 G 位于 (3.33, 2)；从顶点到重心的一段都是所在中线的 0.667

底8
GMBCA
面积 = 24
AG ÷ AM = 0.667

重心 G 位于 (3.33, 2)；从顶点到重心的一段都是所在中线的 0.667

认识概念

定义 24.4.1 · 塞瓦线

塞瓦线是从三角形的任意一个顶点连到对边上任意一点的线段。中线和角平分线都是塞瓦线的特殊情况。

定义 24.4.2 · 中线

中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

定义 24.4.3 · 重心

在三角形中，三条中线的交点叫作重心。

定理 24.4.4

三角形的重心在中线上，从顶点走向对边中点，走到全程的 23\frac{2}{3} 处就是重心。

重心 G 位于 (3.33, 2)；从顶点到重心的一段都是所在中线的 0.667

底8
GMBCA
面积 = 24
AG ÷ AM = 0.667

重心 G 位于 (3.33, 2)；从顶点到重心的一段都是所在中线的 0.667

定理 24.4.5 · 直角三角形斜边上的中线

在直角三角形 ABCABC 中，设从点 BB 出发的中线与 ACAC 交于点 PP。那么

AP=BP=CP.AP = BP = CP.

其实，在直角三角形中，ACAC 是外接圆的直径，而 PCPC、PAPA 和 PBPB 都是外接圆的半径。

P 是 AC 的中点：PA = 5，PB = 5，PC = 5

底8
PBCA
面积 = 24
PA = 5, PB = 5, PC = 5

P 是 AC 的中点：PA = 5，PB = 5，PC = 5

竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.13（补充题）

BmMT

在直角三角形 △ABC\triangle ABC 中，AB=5AB = 5，BC=12BC = 12，CA=13CA = 13，点 DD 在 CACA 上，且 AD=BDAD = BD。CDCD 的长可以写成 mn\frac{m}{n} 的形式，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

过关检测（第 24.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

三角形的中线 AMAM 长 12。重心到 AA 的距离是多少？

2

一个直角三角形的直角边是 5 和 12。斜边上的中线有多长？

3

三角形的重心 GG 在中线 AMAM 上，且 GM=3GM = 3。AMAM 有多长？

24.50%

角平分线定理

在本节中，你将能够 用角平分线定理，把对边按另外两边之比分开。

把 A 处的角正好平分成两半，让这条分割线和对边交于 D。A 旁边较长的那条边分到较长的一段。可是长多少呢？

角平分线把对边分成两段，这两段之比等于夹这个角的两边之比。想了解更多？观看 More on the Angle Bisector Theorem（角平分线定理进阶，英文视频）。

动手探索先玩，再学公式

AB = 7.62，BD = 4.59，AC = 10.63，CD = 6.41：AB/BD = 1.66，AC/CD = 1.66

D7.6210.634.596.41ABC

拖动 A、B 或 C。角 A 被分成的两半始终相等：36° 和 36°。

7.62 ÷ 4.59 = 1.66，10.63 ÷ 6.41 = 1.66

AB = 7.62，BD = 4.59，AC = 10.63，CD = 6.41：AB/BD = 1.66，AC/CD = 1.66

认识概念

定理 24.5.1 · 角平分线定理

如果直线 ADAD 平分角 AA，那么

ABBD=ACCD\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}

AB = 7.62，BD = 4.59，AC = 10.63，CD = 6.41：AB/BD = 1.66，AC/CD = 1.66

D7.6210.634.596.41ABC

拖动 A、B 或 C。角 A 被分成的两半始终相等：36° 和 36°。

7.62 ÷ 4.59 = 1.66，10.63 ÷ 6.41 = 1.66

AB = 7.62，BD = 4.59，AC = 10.63，CD = 6.41：AB/BD = 1.66，AC/CD = 1.66

看例题先预测，再揭晓

例 24.2

BmMT

在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC\angle BAC 的两条三等分线中离 ACAC 较近（离 ABAB 较远）的那条与 BCBC 交于 DD。已知 △ABD\triangle ABD 是面积为 1 的等边三角形，求 △ABC\triangle ABC 的面积。

  1. 1

    △ABD\triangle ABD 是等边三角形，所以 ∠BAD=60∘\angle BAD = 60^\circ。ADAD 是离 ACAC 较近的三等分线，所以 ∠BAD\angle BAD 占三等份中的两份。∠BAC\angle BAC 是多少度？

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竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.12（补充题）

BmMT

直角三角形 △ABC\triangle ABC 中，AB=5AB = 5，BC=12BC = 12，CA=13CA = 13。点 DD 在 ∠BAC\angle BAC 的角平分线上，并且 CDCD 与 ABAB 平行。求 BDBD 的长。

过关检测（第 24.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 平分 ∠A\angle A，DD 在 BCBC 上。如果 AB=6AB = 6，AC=9AC = 9，BC=10BC = 10，那么 BDBD 是多少？

2

ADAD 平分 △ABC\triangle ABC 的 ∠A\angle A。如果 AB=8AB = 8，AC=12AC = 12，BD=4BD = 4，那么 CDCD 是多少？

3

ADAD 平分 △ABC\triangle ABC 的 ∠A\angle A。如果 BD=3BD = 3，DC=5DC = 5，AB=9AB = 9，那么 ACAC 是多少？

24.6

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用面积、勾股定理和面积比。

再来一道 AMC 8 的挑战题！你需要用到面积比：高相同的三角形，面积之比等于底之比。每道题都有三条提示，卡住时可以看看。

想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 24.6.11（补充题）

AMC 8

在三角形 ABCABC 中，点 DD 把边 AC‾\overline{AC} 分成 AD:DC=1:2AD : DC = 1 : 2。设 EE 是 BD‾\overline{BD} 的中点，FF 是直线 BCBC 与直线 AEAE 的交点。已知 △ABC\triangle ABC 的面积是 360360，△EBF\triangle EBF 的面积是多少？