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AMC 8
几何 · 第 25 章

四边形

正方形、长方形、菱形、平行四边形和梯形：每种图形学一个面积公式，再学会把任意四边形切成三角形。

这一章讲什么？
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25.10%

正方形

在本节中，你将能够 由正方形的边长求出它的面积和周长。

一块正方形瓷砖每边长 5 英寸。上面能放下多少个 1 英寸的小正方形？5 行，每行 5 个：25 个。这就是面积的全部意思！

四边形是有 4 条直边的图形。正方形是其中最特别的一种：4 条边都相等，4 个角都是直角。

注意：只要知道正方形的一条边，你就知道了它的一切：面积、周长，甚至对角线。

动手探索先玩，再学公式

正方形：面积 25，周长 20

5555ABCD
正方形
  • 4 条边都相等：是
  • 4 个角都是直角：是
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：是
  • 对角线互相平分：是
正方形：面积 25，周长 20

正方形。面积 25，周长 20。4 条边都相等；4 个角都是直角；两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线相等；对角线互相垂直；对角线互相平分。

认识概念

定理 25.1.1 · 正方形的面积

边长为 ss 的正方形，面积是

s2s^2

周长是

4s4s

竞赛角真实竞赛题

习题 25.7.2

AMC 8

点 A,B,CA, B, C 和 DD 是大正方形各边的中点。如果大正方形的面积是 60，小正方形的面积是多少？

过关检测（第 25.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个正方形的周长是 3636。它的面积是多少？

2

一个正方形的面积是 4949。它的周长是多少？

3

把正方形的边长扩大到原来的 2 倍。它的面积变成原来的几倍？

25.20%

长方形

在本节中，你将能够 由长方形的底和高求出它的面积和周长。

一个花园长 8 步、宽 4 步。每一平方步种一朵花。一共能种多少朵？每行 8 朵，共 4 行：32 朵。

长方形有 4 个直角。它的对边相等，但长边和短边可以不一样长。正方形就是四条边恰好相等的长方形。

注意：竞赛题里的长方形常常是由几个小长方形拼成的。先求出一个未知的长度，其余的就跟着出来了。

动手探索先玩，再学公式

长方形：面积 32，周长 24

8484ABCD
长方形
  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：是
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：否
  • 对角线互相平分：是
长方形：面积 32，周长 24

长方形。面积 32，周长 24。4 个角都是直角；两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线相等；对角线互相平分。

认识概念

定理 25.2.1 · 长方形的面积

底为 bb、高为 hh 的长方形，面积是

bhbh

周长是

2b+2h2b + 2h

看例题先预测，再揭晓

例 25.1

AMC 8

一块大正方形区域铺满了 n2n^2 块灰色正方形瓷砖，每块瓷砖的边长是 ss 英寸。每块瓷砖四周都围着一圈宽 dd 英寸的边框。下图是 n=3n = 3 的情形。当 n=24n = 24 时，这 576576 块灰色瓷砖覆盖了大正方形区域面积的 64%64\%。对于这个更大的 nn，比值 ds\frac{d}{s} 是多少？

  1. 1

    当 n=24n = 24 时，沿着大正方形的一行从一边走到另一边。你会经过 24 块瓷砖。你会经过几条宽为 dd 的边框？

    先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 25.7.1

AMC 8

如下图所示，3 个完全相同的长方形拼成了长方形 ABCDABCD。已知每个小长方形的短边长 5 英尺，长方形 ABCDABCD 的面积是多少平方英尺？

习题 25.7.4

AMC 8

一个长方形四条边的中点是 (−3,0)(-3, 0)、(2,0)(2, 0)、(5,4)(5, 4) 和 (0,4)(0, 4)。这个长方形的面积是多少？

习题 25.7.5（补充题）

AMC 8

两个全等的正方形 ABCDABCD 和 PQRSPQRS 的边长都是 15。它们重叠在一起，组成如图所示的 15 乘 25 的长方形 AQRDAQRD。阴影部分占长方形 AQRDAQRD 面积的百分之几？

过关检测（第 25.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个长方形是 77 乘 44。它的周长是多少？

2

一个长方形的面积是 4848，底是 88。它的周长是多少？

3

两个全等的正方形 ABCDABCD 和 PQRSPQRS 的边长都是 15。它们重叠在一起，组成如图所示的 15 乘 25 的长方形 AQRDAQRD。阴影部分占长方形 AQRDAQRD 面积的百分之几？

25.30%

菱形

在本节中，你将能够 由菱形的两条对角线求出它的面积。

扑克牌上的方块图案，四条边都相等。它不是正方形，因为它是斜的。怎样求它的面积呢？

菱形有 4 条相等的边。它的两条对角线互相垂直，并且互相平分，所以它们把菱形分成 4 个一模一样的直角三角形。

注意：菱形可以放进一个 d₁ 乘 d₂ 的长方形里，而且恰好占满它的一半。

动手探索先玩，再学公式

菱形：面积 24，周长 20

5555d₁ = 8d₂ = 6ABCD
菱形
  • 4 条边都相等：是
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：否
  • 对角线互相垂直：是
  • 对角线互相平分：是
菱形：面积 24，周长 20

菱形。面积 24，周长 20。4 条边都相等；两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线互相垂直；对角线互相平分。

认识概念

定理 25.3.1 · 菱形的面积

两条对角线分别为 d1d_1 和 d2d_2 的菱形，面积是

12d1d2\frac{1}{2}d_1 d_2

周长是

2×d12+d222 \times \sqrt{d_1^2 + d_2^2}

过关检测（第 25.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个菱形的两条对角线分别是 66 和 88。它的面积是多少？

2

一个菱形的两条对角线分别是 66 和 88。它的周长是多少？

3

一个菱形的面积是 3030，一条对角线长 55。另一条对角线有多长？

25.40%

平行四边形

在本节中，你将能够 用底 × 高求出平行四边形的面积。

把一个长方形盒子的顶部往旁边推，它就斜成了一个平行四边形。各边的长度没变。面积也没变吗？

平行四边形的两组对边分别平行。从一端切下一个三角形，移到另一端：你就得到一个底相同、高也相同的长方形。

注意：高总是从底垂直向上量的，永远不是沿着斜边量。

动手探索先玩，再学公式

平行四边形：面积 30，周长 ≈22.77

6√296√29ABCD
平行四边形
  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：否
  • 对角线互相垂直：否
  • 对角线互相平分：是
平行四边形：面积 30，周长 ≈22.77

平行四边形。面积 30，周长 ≈22.77。两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线互相平分。

认识概念

定理 25.4.1 · 平行四边形的面积

底为 bb、高为 hh 的平行四边形，面积是

bhbh

过关检测（第 25.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个平行四边形的底是 99，高是 44。它的面积是多少？

2

一个平行四边形的两条边长分别是 1010 和 66。长为 1010 的边上的高是 33。它的面积是多少？

3

一个平行四边形的面积是 5656。它某一条边上的高是 77。这条边有多长？

25.50%

梯形

在本节中，你将能够 用两条底的平均数求出梯形的面积。

一个坡道底部宽 8 英尺，顶部宽 4 英尺。平均下来，它宽 6 英尺。你能用这个平均宽度求出它的面积吗？

梯形有一组平行的对边，叫作底。它的面积等于两条底的平均数乘以它们之间的高。

注意：同一侧有两个直角，往往藏着一个梯形。垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

动手探索先玩，再学公式

梯形：面积 24，周长 ≈20.94

82√542√5ABCD
梯形
  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：否
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：否
  • 对角线互相平分：否
梯形：面积 24，周长 ≈20.94

梯形。面积 24，周长 ≈20.94。至少有一组对边平行；对角线相等。

认识概念

定理 25.5.1 · 梯形的面积

两条底分别为 b1b_1 和 b2b_2、高为 hh 的梯形，面积是

b1+b22⋅h\frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h

看例题先预测，再揭晓

例 25.2

EMCC

在四边形 PEARPEAR 中，PE=21PE = 21，EA=20EA = 20，AR=15AR = 15，RE=25RE = 25，AP=29AP = 29。求这个四边形的面积。

四边形 PEAR

212015PEAR
四边形 PEAR

PEAR。

  1. 1

    看三角形 PEAPEA。它的三条边是 2121、2020 和 2929。212+20221^2 + 20^2 等于多少？

    先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 25.7.3

AMC 8

四边形 ABCDABCD 是梯形，AD=15AD = 15，AB=50AB = 50，BC=20BC = 20，高是 12。这个梯形的面积是多少？

过关检测（第 25.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个梯形的两条底分别是 55 和 1111，高是 66。它的面积是多少？

2

一个梯形的面积是 6060，高是 55，一条底是 1010。另一条底有多长？

3

梯形的中位线连接两腰的中点。它的长度是两条底的平均数。如果两条底分别是 88 和 1414，中位线有多长？

25.60%

把四边形分成三角形

在本节中，你将能够 把任意四边形切成三角形，求出它的面积。

一块奇怪的四边形田地，没有现成的公式。但从一个顶点到对面的顶点画一条线，它就变成了两个三角形。三角形你会算！

任何四边形都可以沿一条对角线切成两个三角形。你也可以作高，得到直角三角形和长方形。把各块的面积加起来，就是总面积。

注意：高相同的两个三角形，面积之比等于底之比。

动手探索先玩，再学公式

四边形 ABCD：面积 30

ABCD
面积 30

ABCD 的面积是 30。

看例题先预测，再揭晓

例 25.3

EMCC

设 ABCDABCD 是一个长方形，AB=10AB = 10，BC=12BC = 12。设 MM 是 CDCD 的中点，PP 是 BMBM 上的一点，使得 BP=BCBP = BC。求 ABPDABPD 的面积。

四边形 ABPD

101212ABPDCM
四边形 ABPD

ABPD。

  1. 1

    沿对角线 BDBD 把 ABPDABPD 切开。三角形 ABDABD 的面积是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 25.7.6（补充题）

BmMT

正方形 ABCDABCD 的边长是 2。画出正方形 ACEFACEF，使 BB 在正方形 ACEFACEF 的内部。求五边形 AFECDAFECD 的面积。

习题 25.7.8（补充题）

BmMT

设 ABCDABCD 是边长为 10 的正方形。设 EFGHEFGH 是边长为 15 的正方形，其中 EE 是 ABCDABCD 的中心，EFEF 与 BCBC 交于 XX，EHEH 与 CDCD 交于 YY。如果 BX=7BX = 7，四边形 EXCYEXCY 的面积是多少？

过关检测（第 25.6 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

正方形 ABCDABCD 的边长是 66。对角线 ACAC 把它分成两个三角形。三角形 ABCABC 的面积是多少？

2

正方形 ABCDABCD 的边长是 2。画出正方形 ACEFACEF，使 BB 在正方形 ACEFACEF 的内部。求五边形 AFECDAFECD 的面积。

3

设 ABCDABCD 是边长为 10 的正方形。设 EFGHEFGH 是边长为 15 的正方形，其中 EE 是 ABCDABCD 的中心，EFEF 与 BCBC 交于 XX，EHEH 与 CDCD 交于 YY。如果 BX=7BX = 7，四边形 EXCYEXCY 的面积是多少？

25.7

练习题

在本节中，你将能够 在一道巧妙的折纸题中综合运用正方形、长方形和三角形。

拿一张纸跟着折吧！最后这道题要把一个正方形折两次。每道题都有三条提示，卡住了就看看。

想在一页上看到本章的所有习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 25.7.7（补充题）

BmMT

Karthik 有一张边长为 2 的正方形纸。他沿着连接两条对边中点的折痕把正方形对折（如左图所示，虚线表示折痕）。他拿起折好的长方形，再折一次，使它的一个顶点落在与它成对角的那个顶点上。求 Karthik 最后得到的图形的面积。