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AMC 8
几何 · 第 26 章

圆

测量圆：把圆周滚开，把披萨切成小块，再求出各种弯弯曲曲的阴影部分面积。

这一章讲什么？
你需要先会
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26.10%

圆的性质

在本节中，你将能够 求出圆的周长和面积，以及圆的任意一块的弧长和面积。

让自行车轮子滚动整整一圈。它走了多远？沿着轮胎绕一根绳子就知道答案：比 6 条半径长一点点！

圆的一圈边就是它的周长。周长永远是 2π2\pi 条半径那么长，大约 6.286.28 条半径。

把一个披萨切成很多细细的小块，再一正一反地拼起来。你会得到一个近似的长方形，长 πr\pi r，高 rr。这就是圆的面积是 πr2\pi r^2 的原因。

圆的一块叫作扇形，它弯曲的边叫作弧。一个 90∘90^\circ 的扇形是整个圆的 90/360=1/490/360 = 1/4，所以它的弧长和面积都是整个圆的四分之一。

动手探索先玩，再学公式

半径为 1 的圆的周长：2 × π × 1 ≈ 6.28

半径 r1
弧的角度360°
01r2r3r4r5r6rr
周长 = 2π ≈ 6.28相当于 6.28 条半径首尾相接

半径为 1 的圆的周长：2 × π × 1 ≈ 6.28

认识概念

定理 26.1.1 · 面积与周长

半径为 rr 的圆满足

面积=πr2\text{面积} = \pi r^2
周长=2πr\text{周长} = 2\pi r

定理 26.1.2 · 圆的弧

在半径为 rr 的圆中，取一段圆心角为 a∘a^\circ 的弧：

扇形面积=πr2×a∘360\text{扇形面积} = \pi r^2 \times \frac{a^\circ}{360}

也就是 π×半径2×\pi \times \text{半径}^2 \times（扇形占整个圆的几分之几）。

弧长=2πr×a∘360\text{弧长} = 2\pi r \times \frac{a^\circ}{360}

也就是 2π×半径×2\pi \times \text{半径} \times（扇形占整个圆的几分之几）。

定义 26.1.3 · 弧的角度

弧的角度是指这段弧在圆心处所张的角（圆心角）。

自己做

习题 26.4.14（补充题）

BmMT

一个高 10、宽 24 的长方形内接于一个圆。这个圆的周长是多少？用含 π\pi 的式子表示你的答案。

竞赛角真实竞赛题

习题 26.4.6

AMC 8

图中是 Margie 获奖的艺术设计。最小的圆半径是 2 英寸，之后每个圆的半径都比前一个大 2 英寸。黑色部分占整个设计的百分比最接近下面哪个数？

(A) 42 (B) 44 (C) 45 (D) 46 (E) 48

阴影部分：半径 10 的圆 减去 半径 8 的圆 加上 半径 6 的圆 减去 半径 4 的圆 加上 半径 2 的圆

图形：半径 12 的圆，半径 10 的圆，半径 8 的圆，半径 6 的圆，半径 4 的圆，半径 2 的圆

习题 26.4.7

AMC 8

半圆 POQPOQ 和 ROSROS 都经过圆 OO 的圆心。两个半圆的面积之和与圆 OO 的面积之比是多少？

阴影部分：半圆 POQ 加上 半圆 ROS

P(−1, 1)Q(1, 1)R(−1, −1)S(1, −1)O

图形：圆 O，半圆 POQ，半圆 ROS

过关检测（第 26.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个圆的周长是 10π10\pi。它的半径是多少？

2

半径为 66 的圆中，有一个圆心角为 60∘60^\circ 的扇形。它的面积是多少？（用 pi 表示，例如 3pi。）

3

一个高 10、宽 24 的长方形内接于一个圆。这个圆的周长是多少？用含 π\pi 的式子表示你的答案。

26.20%

圆的面积

在本节中，你将能够 通过加减圆、扇形和多边形，求出弯弯曲曲的阴影部分面积。

一块瓷砖上有 4 个黄色的半月形。瓷砖上白色的部分有多大？弯弯曲曲的区域没法直接量。但你可以用熟悉的图形把它拼出来！

大多数阴影部分面积的问题都用同一个窍门：大图形减去不要的部分。正方形、三角形、圆和扇形的面积都很好算。

注意：做减法之前，先检查这些部分有没有重叠。如果有重叠，重叠的部分就会被减去两次。

动手探索先玩，再学公式

阴影部分面积 = 正方形 ABCD 减去 X 处的半圆 减去 Y 处的半圆 减去 Z 处的半圆 减去 W 处的半圆 ≈ 0.2146

ABCDXYZW
  • 正方形 ABCD11
  • X 处的半圆π16\tfrac{\pi}{16}
  • Y 处的半圆π16\tfrac{\pi}{16}
  • Z 处的半圆π16\tfrac{\pi}{16}
  • W 处的半圆π16\tfrac{\pi}{16}
面积 = 1 − 0.196 − 0.196 − 0.196 − 0.196 = 0.215

面积 = 1 − 0.196 − 0.196 − 0.196 − 0.196 = 0.215

看例题先预测，再揭晓

例 26.1

EMCC

在边长为 1 的正方形内部画 4 个全等的半圆。每个半圆的圆心都是正方形一条边的中点，并且每个半圆都与另外两个半圆相切。区域 RR 由正方形内部、所有半圆外部的点组成。RR 的面积可以写成 a−bπa - b\pi 的形式，其中 aa 和 bb 是正有理数。求 a+ba + b。

阴影部分：正方形 ABCD 减去 X 处的半圆 减去 Y 处的半圆 减去 Z 处的半圆 减去 W 处的半圆

ABCDXYZW
  • 正方形 ABCD
  • X 处的半圆
  • Y 处的半圆
  • Z 处的半圆
  • W 处的半圆

阴影部分：加上 正方形 ABCD，减去 X 处的半圆，减去 Y 处的半圆，减去 Z 处的半圆，减去 W 处的半圆

  1. 1

    以 XX 和 YY 为圆心的两个半圆，圆心分别是在 BB 点相交的两条边的中点。XX 和 YY 相距多远？

    先预测一下：
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例 26.2

EMCC

设点 A 和 B 在以 O 为圆心、半径为 4 的圆上，且 ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ。线段 OA 和 OB 的垂直平分线把圆的内部分成 4 个区域。求最小的那个区域的面积。

阴影部分：扇形 QOP 减去 筝形 OPRQ

OABMNRPQ
  • 圆
  • 扇形 QOP
  • 筝形 OPRQ

阴影部分：加上 扇形 QOP，减去 筝形 OPRQ

  1. 1

    两条垂直平分线相交于 RR。4 个区域中哪一个最小？

    先预测一下：
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自己做

习题 26.4.1

AMC 8

在下图中，两个小圆各自的一条直径都是大圆的一条半径。如果两个小圆的面积之和是 1 平方单位，那么阴影部分的面积是多少平方单位？

阴影部分：大圆 减去 左边的圆 减去 右边的圆

图形：大圆，左边的圆，右边的圆

习题 26.4.3

AMC 8

如图，一个半径为 1 的圆内切于一个正方形，同时外接于另一个正方形。圆中阴影部分的面积与两个正方形之间部分的面积之比，最接近下面哪个分数？

阴影部分：圆 减去 里面的正方形

图形：外面的正方形，圆，圆，里面的正方形

竞赛角真实竞赛题

习题 26.4.4

AMC 8

长方形 ABCDABCD 的边长 CD=3CD = 3，DA=5DA = 5。以 AA 为圆心画半径为 1 的圆，以 BB 为圆心画半径为 2 的圆，以 CC 为圆心画半径为 3 的圆。在长方形内部、但在这三个圆外部的区域，面积最接近下面哪个数？

阴影部分：长方形 减去 A 处的四分之一圆 减去 B 处的四分之一圆 减去 C 处的四分之一圆

ABCD53

图形：长方形，A 处的四分之一圆，B 处的四分之一圆，C 处的四分之一圆，A 处的圆，B 处的圆，C 处的圆

习题 26.4.8

AMC 8

把一个半径为 2 的圆分成 4 段全等的弧，再把这 4 段弧拼成如图所示的星形。星形的面积与原来圆的面积之比是多少？

阴影部分：正方形 减去 四分之一圆 1 减去 四分之一圆 2 减去 四分之一圆 3 减去 四分之一圆 4

图形：原来的圆，正方形，四分之一圆 1，四分之一圆 2，四分之一圆 3，四分之一圆 4

习题 26.4.11

AMC 8

如图，US‾\overline{US} 和 UT‾\overline{UT} 是长度都为 2 的线段，且 m∠TUS=60∘m\angle TUS = 60^\circ。弧 TR⌢\overset{\frown}{TR} 和 SR⌢\overset{\frown}{SR} 都是半径为 2 的圆的六分之一。图中所示区域的面积是多少？

阴影部分：三角形 UVW 减去 V 处的扇形 减去 W 处的扇形

USTR

图形：三角形 UVW，V 处的扇形，W 处的扇形

过关检测（第 26.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个半径为 1 的圆放在边长为 2 的正方形里，与正方形的 4 条边都相切。正方形内、圆外部分的面积是多少？（用 pi 表示。）

2

从半径为 4 的圆的正中间挖去一个同心的、半径为 2 的圆。剩下的圆环面积是多少？（用 pi 表示。）

3

在一个 2×22 \times 2 正方形的每条边上向外画一个半圆。整个图形的总面积是多少？（用 pi 表示。）

26.30%

圆内的长度

在本节中，你将能够 利用由半径、半弦和距离组成的直角三角形，求出圆内的各种长度。

在圆形披萨上直直地切一刀，这一刀就是一条弦。这一刀离圆心有多远？画一条半径，你就得到一个直角三角形！

两个事实能解决圆里的大多数长度问题：

  • 从圆心出发、垂直于弦的直线把弦平分。
  • 连到切点的半径垂直于切线。

无论哪种情况，你都会得到一个以半径为一条边的直角三角形。然后用勾股定理就能完成。

动手探索先玩，再学公式

半径 5，弦长 8：半弦 4，到圆心的距离 √(5² − 4²) ≈ 3

半径5
弦长8
d ≈ 3r = 5
半弦 4，半径 5 → 距离 ≈ 3

半径 5，弦长 8：半弦 4，到圆心的距离 √(5² − 4²) ≈ 3

看例题先预测，再揭晓

例 26.3

AMC 8

如图，长方形 ABCDABCD 内接于以 FE‾\overline{FE} 为直径的半圆。已知 DA=16DA = 16，FD=AE=9FD = AE = 9。长方形 ABCDABCD 的面积是多少？

  1. 1

    半圆的圆心在哪里？半径是多少？

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例 26.4

Science Bowl

一个以 C 为圆心、半径为 25 的圆中有 2 条平行弦，长度如图所示。这两条弦之间的距离是多少？（结果取最接近的整数。）

  1. 1

    从 CC 向长为 48 的弦作垂线。垂足在哪里？每一半有多长？

    先预测一下：
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自己做

习题 26.4.2

AMC 8

图中两个圆的圆心都是 CC。弦 AD‾\overline{AD} 与内圆相切于 BB，ACAC 等于 10，弦 AD‾\overline{AD} 的长为 16。两个圆之间的部分面积是多少？

习题 26.4.15（补充题）

BmMT

设 C1 和 C2 是以点 O 为圆心的两个圆，半径分别是 1 和 2。设 A 是 C2 上的一点。过 A 作 C1 的两条切线，它们与 C2 的另一个交点分别记作 B 和 C。如图，设劣弧 BC 的长为 x。求 x。

竞赛角真实竞赛题

习题 26.4.5

AMC 8

等腰直角三角形 ABCABC 里有一个面积为 2π2\pi 的半圆。半圆的圆心 OO 在斜边 AB‾\overline{AB} 上，并且半圆与边 AC‾\overline{AC} 和 BC‾\overline{BC} 都相切。三角形 ABCABC 的面积是多少？

习题 26.4.9

AMC 8

在直角三角形 ABCABC 中，AC=12AC = 12，BC=5BC = 5，CC 是直角。如图，三角形内有一个内切的半圆。这个半圆的半径是多少？

习题 26.4.10

AMC 8

如图，一个半圆内切于底为 16、高为 15 的等腰三角形，半圆的直径在三角形的底边上。这个半圆的半径是多少？

习题 26.4.12

AMC 12

三条等距的平行直线与一个圆相交，截出三条弦，长度分别是 38,38,38, 38, 和 3434。相邻两条平行线之间的距离是多少？

过关检测（第 26.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

半径为 13 的圆中有一条长 24 的弦。这条弦离圆心有多远？

2

一条长 16 的弦离圆心 6 个单位。圆的半径是多少？

3

半径为 9 的圆中，一段弧的圆心角是 40∘40^\circ。这段弧有多长？（用 pi 表示。）

26.4

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用圆的面积、弧长和弦长。

最后一个挑战：两个圆像维恩图一样重叠。把两个圆加起来，减去重叠部分，别忘了弦是怎样从扇形里切下一块的！

想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 26.4.13（补充题）

EMCC

两个半径为 6 的圆相交，它们的公共弦长为 6。它们覆盖的总面积可以写成 aπ+ba\pi + \sqrt{b} 的形式，其中 aa 和 bb 是整数。a+ba + b 是多少？

阴影部分：左边的圆 加上 右边的圆

  • 左边的圆
  • 右边的圆
  • 60° 扇形（左）
  • 三角形（左）
  • 60° 扇形（右）
  • 三角形（右）

注意：红色的点被数了两次。把重叠部分减去一次。

阴影部分：加上 左边的圆，加上 右边的圆

把各个图层打开或关掉。红色的点被数了两次。