相似三角形：全部习题

图中的八边形由 10 个单位正方形组成。$\overline{PQ}$ 下方的部分是一个单位正方形加上一个底为 5 的三角形。如果 $\overline{PQ}$ 把八边形的面积平分，那么比值 $\dfrac{XQ}{QY}$ 是多少？

下图中的长方形 $DEFA$ 是一个 $3 \times 4$ 的长方形，且 $DC = CB = BA = 1$。“蝙蝠翅膀”（阴影部分）的面积是

点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $\overline{CD}$ 的中点，$\overline{BE}$ 与对角线 $\overline{AC}$ 交于 $F$。四边形 $AFED$ 的面积是 $45$。$ABCD$ 的面积是多少？

从这个边长 5 英寸的正方形的四个角上各剪去一个边长 1 英寸的正方形。剩下的空间里能放下的最大正方形的面积是多少平方英寸？

一张正方形纸片的边长为 $1$，顶点依次为 $A, B, C,$ 和 $D$。如图所示，把纸片折起来，使顶点 $C$ 落在边 $\overline{AD}$ 上的点 $C'$ 处，折过来的边与边 $\overline{AB}$ 交于点 $E$。假设 $C'D = \frac{1}{3}$。三角形 $\triangle AEC'$ 的周长是多少？

直角三角形 $\triangle ABC$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。正方形 $XYZW$ 内接于 $\triangle ABC$，其中 $X$ 和 $Y$ 在 $\overline{AC}$ 上，$W$ 在 $\overline{AB}$ 上，$Z$ 在 $\overline{BC}$ 上。这个正方形的边长是多少？

设 $ABCDEFGHIJKL$ 是下图所示的等边十二边形，它的每个角都是 $90^\circ$ 或 $270^\circ$。设 $M$ 是 $CD$ 的中点，假设 $HM$ 把这个十二边形分成两个区域。较大区域的面积与较小区域的面积之比可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

在梯形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $F$ 分别在边 $BC$ 和 $AD$ 上，使得 $AB \parallel CD \parallel EF$。已知 $AB = 3$，$EF = 5$，$CD = 6$，比值 $[ABEF] / [CDEF]$ 可以写成 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数。求 $a + b$。（注：$[F]$ 表示图形 $F$ 的面积。）

设 $ABCD$ 是一个凸四边形，且 $AB = BC = CA$。假设点 $P$ 在四边形内部，满足 $AP = PD = DA$，且 $\angle PCD = 30^\circ$。已知 $CP = 2$，$CD = 3$，求 $CA$。

设 $ABC$ 是一个以 $AB$ 为斜边的直角三角形，$AC = 36$，$BC = 15$。如图所示，在 $ABC$ 内作一个半圆，使半圆的直径 $XC$ 在边 $AC$ 上，并且半圆与 $AB$ 相切。这个半圆的半径是多少？

一个边长为 $x$ 的正方形内接于一个三边长为 $3$、$4$、$5$ 的直角三角形，使正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个三边长为 $3$、$4$、$5$ 的直角三角形，使正方形的一条边落在三角形的斜边上。$\dfrac{x}{y}$ 是多少？