公式表

一个正整数的阶乘，是所有小于或等于它的正整数的乘积。换句话说，

把 $n$ 个互不相同的物体排成一排，方法数就是

从 $n$ 个物体中取出 $k$ 个并排好顺序，方法数是

把 $n$ 个物体排成一圈，如果同一种排法的旋转不算作不同的排法，那么方法数是

如果同一种排法的镜像（翻转）也不算作不同的排法，那么方法数是

组合是一组物体的一种选法，其中物体的顺序不重要。

从 $n$ 个物体中选出 $k$ 个，方法数是

二项式恒等式是说：

一个单词的字母排列方法数是

其中 $n$ 是字母的总个数，$d_1, d_2, d_3, \ldots$ 分别是单词中每个重复字母出现的次数。

当每种结果都是等可能的时候（比如一颗均匀骰子的各个面），这个公式才成立。

当题目要求某个事件的概率时，你常常需要用分类讨论来数出符合要求的结果数。然后再除以结果总数，而结果总数通常很容易求。

分类讨论就是在解计数或概率问题时，考虑各种不同的情况，再把它们加起来。很多计数或概率问题都可以这样解：把问题分成几种情况，分别算出每种情况的排法数或概率，最后求和。

当没有其他明显的思路时，就可以试试分类讨论，它是 AMC 8 中最常用的技巧之一。

好的分类要做到不重不漏：既互不重叠（没有一个结果同时属于两种情况），又完整（每个结果都属于某一种情况）。这样，各种情况的个数加起来就是答案。

$|A \cup B|$ 表示 $A$ 和 $B$ 的并集中元素的个数（也就是属于集合 $A$ 或集合 $B$ 的所有元素，重复的只算一次）。

$|A \cap B|$ 表示 $A$ 和 $B$ 的交集中元素的个数（也就是只算那些同时属于两个集合的元素）。

对于两个集合，元素个数分别为 $|A_1|$ 和 $|A_2|$，有

简单地说，就是把两类“东西”的可能数加起来，再减去重复的部分。

对于三个集合，元素个数分别为 $|A_1|, |A_2|, |A_3|$，有

在这个公式里，我们先把三类“东西”的可能数加起来，再减去每两个集合之间重复的部分（共 3 对），最后把三个集合共有的部分加回来。

数超过 3 个事件时，道理也一样。对于任意 $n$ 个事件，要求出至少有一个事件发生的方法总数：

1. 求出每个事件单独发生的方法数。
2. 对每一对（2 个）事件，减去两个都发生的方法数。
3. 对每一组 3 个事件，加回三个都发生的方法数。
4. 对每一组 4 个事件，减去四个都发生的方法数……
5. 对全部 $n$ 个事件，当 $n$ 是奇数时加上、当 $n$ 是偶数时减去它们全都发生的方法数。

加和减轮流进行，直到算到全部 $n$ 个事件都发生的情况。因为加减是交替的，所以全部 $n$ 个事件都发生的方法数是加还是减，取决于 $n$ 是不是奇数。

更正式地说，如果 $(A_i)_{1 \le i \le n}$ 都是有限集合，那么：

把 $n$ 个不可区分的物品放进 $k$ 个可区分的盒子里，方法数是

隔板法非常有用，而且常常可以根据情况灵活变通。例如，如果每个盒子里至少要有 1 个物品，就先给每个盒子放 1 个。然后对 $n-k$ 个物品和 $k$ 个可区分的盒子使用公式：

在 $n \times n$ 的正方形方格中，正方形的个数是

在 $m \times n$ 的长方形方格中，各种大小的长方形个数的一般公式是

只向上和向右走，从 $(0,0)$ 走到点 $(m,n)$ 的方法数是

用递推解题，按下面的步骤做：

1. 先自己动手算出几个较小的初始值。
2. 一般来说，递推式右边有几项，就需要几个初始值。
3. 对给定的 $f(n)$，找出用前面的函数值表示它的递推式。想一想到达那个位置有哪些不同的方式。
4. 一个接一个地算出 $f(n)$ 的值，直到算出你要的那个数。

做概率递推时，一个好办法是直接列一张表，求出每过一个时间步后在每个位置上的概率。记住：每跳一次后，总概率必须始终是 $1$。

也可以写成

如果一个人做一件事要用 $a$ 的时间，另一个人做这件事要用 $b$ 的时间，那么两人合作完成需要

的时间。

如果有一个形如 $x^2 + bx + c$ 的二次式，就可以把它因式分解成 $(x + p)(x + q)$，其中 $p + q = b$，$pq = c$。一般可以通过尝试检验找到这两个数。

然后，只要解形如 $x + r = 0$ 的一次方程就行了。

如果形如 $x^2 + bx + c$ 的二次式有 2 个根 $r$ 和 $s$，那么 $r + s = -b$，$rs = c$。有时你不需要算出两个根，只要求出用根表示的式子就行。

二次方程

的解是

当你从应用题里列出了方程组，或者题目直接给了你一个方程组，就可以考虑用下面一种或几种方法来解。

1. 利用对称性
2. 代入未知数
3. 消元法
4. 把方程相加、相减或相乘
5. 平方差：$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
6. 二项式展开：$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 和 $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
7. 其他常见的因式分解技巧（更多内容见代数数论那一章）
8. 有平方根时，把方程两边平方
9. 引入新的未知数再代入（换元法）
10. 画出方程的图像（建议用方格纸）

这是 AMC 8 中最常见的题型之一。解这类题的窍门就是：给题目中的未知量设未知数，然后把方程解出来。

也可以写成

一般地，等差数列的各项可以写成：

其中

• $d$ 是相邻两项之差，即公差
• $n$ 是项数

意思是，等差数列的第 $n$ 项等于

我们还有

意思是

也就是说，

也就是说

如果项数是偶数，平均数 $x$ = 中间 2 项的平均数。

如果项数是奇数，平均数 $x$ = 中间那一项。

也就是说

我们也可以代入 $a_n = a_1 + (n-1)d$，得到

前 n 个正整数的和：

简单地说，

直观地想：从每一项里提出公因数 $2$：

简单地说，

前 n 个正整数的平方和：

前 n 个正整数的立方和：

一般地，等比数列的各项可以写成：

其中

• $r$ 是相邻两项之比，即公比
• $n$ 是项数

意思是

求第 $n$ 项的一般形式：

意思是

也就是说，

项数 = 从 $g_1$ 开始、要乘多少次 $r$ 才能得到 $g_n$，再加 $1$。

也就是说

当 $-1 < r < 1$ 时，

解这类题的一种策略，是把数列拆成几个等比数列。另一种策略是把整个式子记作 $S$，然后把 $S$ 除以某个数，使得用 $S$ 减去它之后，大部分项都能消掉。这种方法更快，但更难想到。

先把这些数按从小到大（或从大到小）的顺序排好：

如果项数是奇数，

如果项数是偶数，

写出开头几项和末尾几项，把你看到的能抵消的项都消掉。

质数是恰好有两个因数的数：$1$ 和它本身。

例如：$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ 都是质数。

注意：$1$ 不是质数（它只有一个因数），而 $2$ 是唯一的偶质数。

$n!$ 中质因数 $p$ 的个数是

这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示“把 $x$ 向下取整”。

如果一个数的质因数分解写成

那么这个数的因数个数是

简单来说，求一个数的因数个数分三步：

1. 求出这个数的质因数分解
2. 把每个指数都加 1
3. 把它们乘起来

可以这样理解这个公式：对每个质数 $p_k$，因数里它的指数可以是从 $0$ 到 $e_k$ 的任何值。所以有 $e_k + 1$ 种选择。因此，因数的总个数就是所有这些 $e_k + 1$ 的乘积。

例如，在 $112 = 2^4 \times 7$ 中，因数里 $2$ 的幂可以是 $2^0$、$2^1$、$2^2$、$2^3$ 或 $2^4$；$7$ 的幂可以是 $7^0$ 或 $7^1$。

所以一共有 $5 \times 2 = 10$ 种，和前面算出的一样。以后题目加上其他条件时，这种思路会很有用。

如果一个数的质因数分解写成

那么这个数的因数和是

本质上，对质因数分解中的每个质数 $p$，先把所有可能的指数 $k$ 对应的 $p^k$ 加起来。然后把所有质数的这些和乘起来，就得到这个数所有因数的和。这听起来有点复杂，看一个例子就清楚了。

如果一个数 $n$ 有 $f$ 个因数（这个数可以用因数个数公式算出），那么它所有因数的积是

两个或多个整数（不全为零）的最大公因数（GCD），是能整除其中每一个整数的最大正整数。

注： 它也叫最大公约数（英文也写作 GCF，即 Greatest Common Factor），这些叫法常常混用。

两个或多个整数（不全为零）的最小公倍数（LCM），是能被这些数整除的最小正整数。

$m$ 和 $n$ 的最大公因数 $= \gcd(m, n)$，可以这样求：在 $m$ 和 $n$ 的质因数分解中，每个质因数取较低的指数。

$m$ 和 $n$ 的最小公倍数 $= \operatorname{lcm}(m, n)$，可以这样求：在 $m$ 和 $n$ 的质因数分解中，每个质因数取较高的指数。

两个数的最大公因数与最小公倍数之积，等于这两个数之积：

公因数可以提出来：

公因数可以提出来：

如果一个数能被两个数 $a$ 和 $b$ 整除，那么它也能被 $\operatorname{lcm}(a, b)$ 整除。

辗转相除法（欧几里得算法）告诉我们：

其中 $x > y$，$k$ 是正整数。

表示数 $n$ 和 $a$ 除以 $b$ 所得的余数相同。

如果 $a \equiv x \pmod{n}$ 且 $b \equiv y \pmod{n}$，那么

如果 $a \equiv x \pmod{n}$，那么

通常可以把关于不同模的同余式合并成一个。例如，如果 $x \equiv 1 \pmod{5}$ 且 $x \equiv 1 \pmod{7}$，那么 $x \equiv 1 \pmod{35}$。

要求 $a^b$ 这样的大数的末几位数字，一个可行的策略是找规律：先算出 $a^b$ 的前几个值，然后发现当 $b$ 很大时，这个规律会一直循环下去。

对于一般的代数方程，如果有 $n$ 个未知数要求，就需要 $n$ 个方程。但不定方程不是这样，因为我们多了一个条件：每个未知数都是整数。这个条件正是解不定方程的关键。

回文数是正着读和倒着读都一样的数。

例如，$7$、$44$、$383$ 和 $12321$ 都是回文数，但 $123$ 不是。

如果 $a$ 和 $b$ 互质，那么不能表示成 $a$ 与 $b$ 的非负整数倍之和的最大数是

对于互质的正整数 $a, b$，恰好有

个正整数不能表示成 $ma + nb$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是非负整数。

• 三角形的内角和是 $180^\circ$
• 一个三角形如果有 2 个角相等，那么它们所对的边也相等；如果有 2 条边相等，那么它们所对的角也相等（等腰三角形）
• 两条直线相交，对顶角相等
• 两条平行线被截时，同位角相等
• 一条弧所对的圆心角，是它所对的圆周角的 2 倍

互余的角是和为 90 度的两个角：

互补的角是和为 180 度的两个角：

两条直线相交时，对顶角相等。对顶角是两条相交直线形成的、位置相对的两对角中的每一对。它们共用同一个顶点，而且两边互为反向延长线，所以叫“对顶”角。（英文叫 vertical angles，这里的 vertical 指“共用顶点（vertex）”，而不是平常“竖直”的意思。）

同位角相等：一条直线截两条平行线时，两个交点处位置对应的角大小相同。

一条弧所对的圆心角（也就是弧的度数）是它所对的圆周角的 2 倍。

凡是顶点在圆上、对着同一条弧的角都相等。

内接于圆、以直径为一边的三角形一定是直角三角形。直径截出一条 $180^\circ$ 的弧，所以它所对的角是 $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$。

任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。图中，$AB$ 和 $CD$ 的垂直平分线交于圆心 $O$。

• 相等的弦到圆心的距离相等。
• 如果圆中两条弦相等，那么它们所对的弧相等。
• 如果圆中两条弦相等，那么它们所对的两个圆心角相等。

图中标出的角等于两条红色弧的差的一半。

如果两条弦 $AB$ 和 $CD$ 交于 $P$，那么 $\angle BPC$ 和 $\angle APD$ 都等于两条弧的平均数。

如果切线 $R$ 与圆相切于 $Q$，再画一条弦 $QP$，那么 $\angle RQP$ 等于弧的度数的一半。

相等的弦截出相等的弧。

意思就是：如果有 2 条一样长的弦，它们在圆上截出的部分也一样大。

把圆心和直线与圆的切点连起来，这条半径和切线成直角。

底为 $b$、高为 $h$ 的三角形，面积是

高是从顶点向底边所在直线作的垂线段。

三边为 $a, b, c$、半周长为 $s$ 的三角形，面积是

半周长就是周长的一半：$s = \frac{a+b+c}{2}$。

内切圆半径为 $r$（即三角形内切圆的半径）、半周长为 $s$ 的三角形，面积是：

直角三角形的内切圆半径 $r$：

其中 $a$ 和 $b$ 是三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。

外接圆半径为 $R$（即三角形外接圆的半径）、三边为 $a, b, c$ 的三角形，面积是

如果等边三角形的边长是 $a$：

这可以直接由 $30-60-90$ 三角形得到。

如果 45°-45°-90° 三角形的直角边长是 $a$：

如果 30°-60°-90° 三角形的短直角边长是 $a$：

如果三角形的三条边是 13、14 和 15，它可以分成两个直角三角形，边长分别是：$5, 12, 13$ 和 $9, 12, 15$。

这个三角形的面积 $= \frac{1}{2}\times 14\times 12 = 84$

直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形满足下面的关系：

重要的勾股数

$3, 4, 5$ · $5, 12, 13$ · $7, 24, 25$ · $8, 15, 17$ · $9, 40, 41$ · $20, 21, 29$

把一组勾股数中的每个数都乘以同一个数，得到的仍然是一组勾股数。例如，下面这些都是勾股数：$3, 4, 5$ · $6, 8, 10$ · $9, 12, 15$ · $12, 16, 20$ · $15, 20, 25$。

在直角三角形 $ABC$ 中，$B$ 是直角，设 $D$ 是从 $B$ 向 $AC$ 作垂线的垂足。下面这几个三角形相似：

斜边上的高的长度：$BD = \frac{AB\cdot BC}{AC}$。

还要注意：

三角形的重心在中线上，从顶点走向对边中点，走到全程的 $\frac{2}{3}$ 处就是重心。

在直角三角形 $ABC$ 中，设从点 $B$ 出发的中线与 $AC$ 交于点 $P$。那么

其实，在直角三角形中，$AC$ 是外接圆的直径，而 $PC$、$PA$ 和 $PB$ 都是外接圆的半径。

如果直线 $AD$ 平分角 $A$，那么

边长为 $s$ 的正方形，面积是

周长是

底为 $b$、高为 $h$ 的长方形，面积是

周长是

两条对角线分别为 $d_1$ 和 $d_2$ 的菱形，面积是

周长是

底为 $b$、高为 $h$ 的平行四边形，面积是

两条底分别为 $b_1$ 和 $b_2$、高为 $h$ 的梯形，面积是

半径为 $r$ 的圆满足

在半径为 $r$ 的圆中，取一段圆心角为 $a^\circ$ 的弧：

也就是 $\pi \times \text{半径}^2 \times$（扇形占整个圆的几分之几）。

也就是 $2\pi \times \text{半径} \times$（扇形占整个圆的几分之几）。

对于全等三角形：

1. 两个三角形的各个角对应相等
2. 所有对应边都相等
3. 面积、周长、内切圆半径、外接圆半径等都相等

如果两个三角形的三个角和三条边都对应相等，这两个三角形就全等。换句话说，这两个三角形是一样的（摆放方向不一定相同）。一般来说，满足下面任一条件的两个三角形全等：

• AAS 全等（角角边）：两个三角形有两个角对应相等，并且这两个角旁边的 1 条边也相等
• SAS 全等（边角边）：两条边对应相等，并且这两条边的夹角相等
• SSS 全等（边边边）：三条边都对应相等
• HL 全等（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等
• LL 全等（直角边、直角边）：在直角三角形中，两条直角边对应相等

警告： SSA 不是三角形的全等判定：如果两条对应边相等，并且不是这两条边夹角的那个角相等，这两个三角形不一定全等

如果两个三角形的三个角都对应相等，这两个三角形就相似。换句话说，这两个三角形形状相同，只是按某个相似比放大或缩小了。

一般来说，满足下面任一条件的两个三角形相似：

• AA 相似（角角）：两个三角形有两个角对应相等，这其实意味着第三个角也相等
• SAS 相似（边角边）：两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等
• SSS 相似（边边边）：三条边都对应成比例
• HL 相似（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例
• LL 相似（直角边、直角边）：在直角三角形中，两条直角边对应成比例

警告： SSA 不能说明两个三角形相似

判断相似三角形的一个简单方法：两个三角形的底边互相平行，并且它们的两腰分别在同一条直线上（见下面的沙漏图）。

对于相似三角形：

1. 两个三角形的各个角对应相等
2. 所有对应边的比都相同
3. 面积比等于边长之比（相似比）的平方

正六边形的内角和 $= (6-2)\cdot 180 = 720$

正六边形的每个内角 $= \dfrac{(6-2)}{6}\cdot 180 = 120$

正六边形的每个外角 $= \dfrac{360}{6} = 60$

正六边形的面积 $= 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$

正六边形（最长）对角线的长 $= 2s$

正八边形的内角和 $= (8-2)\cdot 180 = 1080$

正八边形的每个内角 $= \dfrac{(8-2)}{8}\cdot 180 = 135$

正八边形的每个外角 $= \dfrac{360}{8} = 45$

正八边形的面积 $= 2(1+\sqrt2)s^2$

• 把图形分成几个更“好算”的部分
• 延长线段
  • 当延长后能得到更好处理的图形（比如三角形）时，通常就值得延长
• 拆分面积
  • 常用的做法是作高，因为这样通常能得到直角三角形

• 角相等意味着边相等，反过来也一样
• 留意 90 度的角，因为这时可以用勾股定理
• 用下面这些方法把长度拆成几段
  • 添加辅助线
  • 作高
  • 延长线段，构造相似三角形、特殊三角形等，再减去多出来的长度

顺便一提，面对角线的长是 $\sqrt{2}a$。

把棱柱展开：两个底面，再加上一条长长的带子，带子的宽就是底面周长。

高 $h$ 是从顶点笔直向下量到底面的距离。

当棱锥的底面是正方形，并且所有的棱都相等时，

两个圆给出 $2\pi r^2$。侧面展开后是一个宽 $2\pi r$、高 $h$ 的长方形。

也就是

其中 $s$ 是斜高（母线长），也可以写成

圆锥的侧面也可以展开成一个扇形。圆锥底面的周长等于扇形的弧长，圆锥的斜高等于扇形的半径。

所以扇形的圆心角是 $\dfrac{2\pi r}{2\pi s} \times 360^\circ = \dfrac{r}{s} \times 360^\circ$。