定义 2.1.1
组合是一组物体的一种选法，其中物体的顺序不重要。
组合计数 · 第 2 章
组合
当顺序无关紧要时，先数有顺序的选法，再除掉重复的次数：这就是“选”。
2.10%
组合基础
在本节中，你将能够 数出不计顺序的选法：把有顺序的选法数除以 k!。
考试前，你从一盒 6 支铅笔里抓了 3 支。先拿红色再拿蓝色，和先拿蓝色再拿红色，抓到的都是同样的 3 支铅笔。 那么一共有多少种不同的抓法？
在第 1 章里，顺序很重要。现在顺序不重要了。窍门是：先数出有顺序的选法，再除以每一组的排序方法数。 这个数就是 。
注意：从 6 样东西里选 2 样留下，就等于从中选 4 样放弃。
动手探索先玩，再学公式
认识概念
注 2.1.2
通常，排列、顺序有关 等说法意味着这是一个排列问题；而 选、挑选、不计顺序 等说法意味着这是一个组合问题。
定理 2.1.3 · 组合数公式
从 个物体中选出 个，方法数是
注 2.1.4
注意：
这是因为，选出要放进你的选择里的 个物体（左边），就等于选出不放进你的选择里的 个物体（右边）。例如，
看例题先预测，再揭晓
例 2.1
从 6 支不同的铅笔中选出 3 支，有多少种选法？
- 1
先把它当成排列来做。第 1 支、第 2 支、第 3 支铅笔各有多少种选择？全部乘起来是多少？
先预测一下：
例 2.2
例 2.3
计算
- 1
这里的 和 分别是多少？
先预测一下：
例 2.4
Omega Learn例 2.5
Omega Learn你正在学习《Mastering AMC 8》这本书，需要从 10 个组合计数章节中选出 7 章来学习。但是，前 2 章是理解其余章节的基础，所以必须选上。有多少种选法？
- 1
前 2 章已经选上了。你还需要再选几章？
先预测一下：
自己做
习题 2.4.1
有 Alice、Betty、Chase 和 Dave 四个人，你需要从中选出两人担任数学社的负责人。有多少种选法？
习题 2.4.2
计算 和
习题 2.4.3
从 8 种不同的水果中选出 3 种，有多少种选法？
习题 2.4.4
一个袋子里有 9 个颜色各不相同的球，从中取出 4 个，有多少种取法？
习题 2.4.5
Jones 太太正在组织一次百家宴（每家带菜的聚餐），她想供应 8 道不同的菜。每个家庭可以带 3 道菜。为了使任意两个家庭带的菜的组合都不相同，Jones 太太可以邀请多少个家庭？
过关检测（第 2.1 节）
3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。2.20%
二项式恒等式
在本节中，你将能够 用“拿或不拿”的选择，一次数出 n 样东西所有可能的组合。
Nihir 正在准备野餐篮。他的 5 种水果每种都可以带，也可以一个都不带。他能带出多少种不同的水果篮？先猜一猜！
杨辉三角（帕斯卡三角）的每一行，列出了从一组东西里选 0 个、1 个、2 个……的方法数。把一整行加起来， 就一次数出了所有可能的选法。
注意：每样东西你只有 2 种选择：拿，或者不拿。所以 n 样东西有 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ 种组合。
动手探索先玩，再学公式
认识概念
定理 2.2.1 · 二项式恒等式
二项式恒等式是说：
注 2.2.2
要计算从 样不同的东西中选出任意多样的方法数，上面两种方法都可以用：把 加起来，或者直接算 。
看例题先预测，再揭晓
例 2.6
Nihir 有一个苹果、一个橙子、一根香蕉、一个梨和一颗树莓。他想带一篮水果去野餐。用他现有的水果，他可以带多少种不同的水果篮？
- 1
一种方法是：列出装 0 个水果、1 个水果、2 个水果……的篮子。有没有更简单的解法？
例 2.7
竞赛角真实竞赛题
习题 2.4.8
AMC 10Henry's Hamburger Haven 的汉堡可以加以下配料：番茄酱、芥末酱、蛋黄酱、番茄、生菜、酸黄瓜、奶酪和洋葱。顾客可以选一块、两块或三块肉饼，以及任意一组配料。一共可以点多少种不同的汉堡？
过关检测（第 2.2 节）
3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。2.30%
组合难题精讲
在本节中，你将能够 把一道复杂的选择题拆成几步，再把各步的方法数相乘。
一家公司有 13 名求职者。它需要 2 名经理和另外 4 名员工，而且经理必须有经验。该从哪里下手呢？
大的选择问题分步来做会容易很多。先选出一组，再从剩下的人里选出下一组。前一步的每种选法都能和下一步的 每种选法搭配，所以要相乘。
注意：当顺序是固定的（比如数字按从小到大排列），你只需要选出用哪些东西。
动手探索先玩，再学公式
看例题先预测，再揭晓
例 2.8
Omega Learn有 6 名有经验的求职者和 7 名没有经验的求职者应聘一份工作。从有经验的求职者中选出 2 名经理。再从所有没有被选为经理的求职者（包括有经验的和没有经验的）中，选出另外 4 名员工。有多少种选法？
- 1
首先，选出 2 名经理有多少种方法？
先预测一下：
例 2.9
Omega Learn你有 12 根不同的能量棒，要分给 3 个人：Alice、Betty 和 Chase。Alice 需要 3 根，Betty 需要 4 根，Chase 需要 5 根。满足他们要求的分法有多少种？
- 1
从 Alice 开始。选出她的 3 根能量棒有多少种方法？
先预测一下：
例 2.10
EMCC把 4 个球放进一个 的方格中，要求任何一列或一行中的球都不超过一个。有多少种放法？（旋转和翻转后得到的放法算作不同。）
- 1
有 4 行和 4 个球，每行至多一个球。每行放几个球？
先预测一下：
例 2.11
AIMERobert 有 4 枚不可区分的金币和 4 枚不可区分的银币。每枚硬币的一面刻有一个头像，另一面没有。他想把这 8 枚硬币在桌上叠成一摞，使得任意两枚相邻的硬币都不是头像面对头像面。求这 8 枚硬币可区分的叠法有多少种。
- 1
先处理颜色。把 4 枚金币和 4 枚银币叠成一摞，有多少种排法？
先预测一下：
竞赛角真实竞赛题
习题 2.4.7
AMC 10把 25 个正方形积木摆成一个 的正方形。从中选出 3 个积木，使得任意两个都不在同一行或同一列，有多少种不同的选法？
过关检测（第 2.3 节）
3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。2.4
练习题
在本节中，你将能够 在练习题中综合运用本章的所有方法。
是时候把所有方法混在一起用了！这些题会用到组合、对称、“拿或不拿”的选择和分步选择。每道题都有三条提示， 卡住时可以看看。
想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。
综合练习
习题 2.4.6
一家冰淇淋店有 9 种不同口味的冰淇淋。Joe 想买 2 球或 3 球口味互不相同的冰淇淋。他不喜欢芒果和巧克力这 2 种口味搭配在一起，所以不会同时买这两种。他有多少种买法？