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Mastering
AMC 8
组合计数 · 第 4 章

概率

这件事有多大可能发生？数出你想要的结果，除以所有的结果，再沿着树形图的分支相乘。

这一章讲什么？
你需要先会
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4.10%

概率基础

在本节中，你将能够 数出想要的结果数，再除以所有结果数，求出概率。

玩桌游时你掷两颗骰子，掷出 7 就能赢。这容易吗？掷出 7 比掷出 2 更容易吗？先猜一猜！

两颗骰子的每一种掷法，都是 6 × 6 方格里的一个格子。这 36 个格子都是等可能的。所以概率就是一个分数： 你想要的格子数，除以所有的格子数。

动手探索先玩，再学公式

6 × 6 = 36 种投掷结果；和为 7：6/36 = 1/6

骰子 1 (6) × 骰子 2 (6) = 36 种等可能的投掷结果

123456123456234567345678456789567891067891011789101112左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
636=16\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

和为 7：36 种投掷结果中有 6 种符合，概率为 1/6

认识概念

定义 4.1.1 · 概率

概率表示一件事发生的可能性有多大。要计算概率，你需要知道一共有多少种可能的选项（也叫结果），以及其中有多少种是符合要求的。

定理 4.1.2 · 概率

概率=想要的结果总数所有可能的结果总数\text{概率} = \frac{\text{想要的结果总数}}{\text{所有可能的结果总数}}

当每种结果都是等可能的时候（比如一颗均匀骰子的各个面），这个公式才成立。

看例题先预测，再揭晓

例 4.1

掷一颗 6 面骰子，掷出质数的概率是多少？

6 = 6 种等可能的投掷结果

骰子 (6) = 6 种等可能的投掷结果

123456123456骰子。
选一个条件，让符合的格子亮起来。

6 = 6 种等可能的投掷结果。选一个条件吧。

  1. 1

    符合要求的结果有多少种？

    先预测一下：

自己做

习题 4.7.1

掷两颗 6 面骰子。掷出的两个数之和为 2 的概率是多少？

习题 4.7.2

掷两颗 6 面骰子。掷出的两个数之和为 4 的概率是多少？

习题 4.7.3

掷两颗骰子。掷出的两个数之和为 6 的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.7

AMC 8

转动下图中两个转盘上的指针。设数 NN 等于转盘 A 上的数的 10 倍，再加上转盘 B 上的数。NN 是完全平方数的概率是多少？

过关检测（第 4.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个袋子里有 3 颗红弹珠和 5 颗蓝弹珠。你不看袋子，摸出一颗弹珠。它是红弹珠的概率是多少？

2

从 1 到 20 中随机选一个整数。它是 3 的倍数的概率是多少？

3

Jamal 的抽屉里有 6 只绿袜子、18 只紫袜子和 12 只橙袜子。他又放进了一些紫袜子，之后发现：从抽屉里随机取出一只袜子，是紫袜子的概率变成了 60%。Jamal 放进了多少只紫袜子？

4.20%

可区分性

在本节中，你将能够 判断要不要考虑顺序，并避开“情况不等可能”这个陷阱。

你从 10 张卡片中抓出两张。先抓到哪一张重要吗？对计数来说可能重要。对概率来说，通常不重要，但这里藏着一个狡猾的陷阱。

计数时你可以考虑顺序，也可以不考虑顺序。只要前后一致：想要的结果和所有的结果，要用同一种方式来数。 注意：如果某些情况能以更多种顺序出现，那么这些情况就不是等可能的。

动手探索先玩，再学公式

无序：45 个中有 10 个满足“积为奇数” = 2/9

从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 中选出 2 张卡片，要求互不相同。 亮起的是：积为奇数。

  • {1, 2}
  • {1, 3}
  • {1, 4}
  • {1, 5}
  • {1, 6}
  • {1, 7}
  • {1, 8}
  • {1, 9}
  • {1, 10}
  • {2, 3}
  • {2, 4}
  • {2, 5}
  • {2, 6}
  • {2, 7}
  • {2, 8}
  • {2, 9}
  • {2, 10}
  • {3, 4}
  • {3, 5}
  • {3, 6}
  • {3, 7}
  • {3, 8}
  • {3, 9}
  • {3, 10}
  • {4, 5}
  • {4, 6}
  • {4, 7}
  • {4, 8}
  • {4, 9}
  • {4, 10}
  • {5, 6}
  • {5, 7}
  • {5, 8}
  • {5, 9}
  • {5, 10}
  • {6, 7}
  • {6, 8}
  • {6, 9}
  • {6, 10}
  • {7, 8}
  • {7, 9}
  • {7, 10}
  • {8, 9}
  • {8, 10}
  • {9, 10}
1045=29\frac{10}{45} = \frac{2}{9}

如果改成考虑顺序，会得到 2090=29\frac{20}{90} = \frac{2}{9}. 答案相同！

不考虑顺序：45 个情况中有 10 个满足“积为奇数”，2/9

认识概念

注 4.2.1

在概率问题中，要不要为顺序乘上排列数，由你自己决定，因为两种做法得到的概率是一样的。

注 4.2.2

如果你在做概率题时决定不考虑顺序，一定要确认每种情况的顺序数都相同。在第一道题里，每一对都有 22 种顺序，所以可以忽略顺序。在第二道题里，那 22 种情况的顺序数不同，所以这样做就行不通了。

看例题先预测，再揭晓

例 4.2

我有编号为 1 到 10 的卡片。我取出 2 张不同的卡片，它们的积是奇数的概率是多少？

无序：45 个中有 10 个满足“积为奇数” = 2/9

从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 中选出 2 张卡片，要求互不相同。 亮起的是：积为奇数。

  • {1, 2}
  • {1, 3}
  • {1, 4}
  • {1, 5}
  • {1, 6}
  • {1, 7}
  • {1, 8}
  • {1, 9}
  • {1, 10}
  • {2, 3}
  • {2, 4}
  • {2, 5}
  • {2, 6}
  • {2, 7}
  • {2, 8}
  • {2, 9}
  • {2, 10}
  • {3, 4}
  • {3, 5}
  • {3, 6}
  • {3, 7}
  • {3, 8}
  • {3, 9}
  • {3, 10}
  • {4, 5}
  • {4, 6}
  • {4, 7}
  • {4, 8}
  • {4, 9}
  • {4, 10}
  • {5, 6}
  • {5, 7}
  • {5, 8}
  • {5, 9}
  • {5, 10}
  • {6, 7}
  • {6, 8}
  • {6, 9}
  • {6, 10}
  • {7, 8}
  • {7, 9}
  • {7, 10}
  • {8, 9}
  • {8, 10}
  • {9, 10}
1045=29\frac{10}{45} = \frac{2}{9}

如果改成考虑顺序，会得到 2090=29\frac{20}{90} = \frac{2}{9}. 答案相同！

不考虑顺序：45 个情况中有 10 个满足“积为奇数”，2/9

  1. 1

    两张卡片的积要是奇数，必须满足什么条件？

    先预测一下：

例 4.3

两个正整数的和是 4。求其中一个整数是 2 的概率。

无序：2 个中有 1 个满足“其中一个是 2” = 1/2（这些情况不是等可能的；真正的答案是 1/3）

两个正整数的和是 4。 亮起的是：其中一个是 2。

  • {1, 3}×2
  • {2, 2}×1
12\frac{1}{2}

如果改成考虑顺序，会得到 13\frac{1}{3}. 答案不同！

小心：这些情况不是等可能的。有的情况代表 2 个有序对，有的只代表 1 个。真正的概率是 13\frac{1}{3}.

不考虑顺序：2 个情况中有 1 个满足“其中一个是 2”，1/2。小心：这些情况不是等可能的

  1. 1

    有哪几种情况？

    先预测一下：

自己做

习题 4.7.16

AMC 10

从 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中随机选出两个不同的数，把它们相乘。积是偶数的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.6

AMC 8

一个盒子里有五张卡片，分别标有 1、2、3、4、5。从盒子里随机取出三张卡片，不放回。取出的数中最大的是 4 的概率是多少？

习题 4.7.9

AMC 8

从一副牌中发出两张牌。这副牌有四张红牌，分别标有 AA、BB、CC、DD，还有四张绿牌，也分别标有 AA、BB、CC、DD。如果两张牌颜色相同或字母相同，就是一对“赢牌”。抽到赢牌的概率是多少？

习题 4.7.18

AMC 8

从集合 {−2,−1,0,3,4,5}\{-2, -1, 0, 3, 4, 5\} 中随机选出两个不同的数，把它们相乘。积为 0 的概率是多少？

过关检测（第 4.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

从编号为 1 到 6 的卡片中取出两张不同的卡片。两张都是偶数的概率是多少？

2

你从编号为 1 到 6 的卡片中取出 2 张不同的卡片，并且取出的先后顺序有区别。一共有多少个有序对？

3

两个正整数的和是 6。每个有序对，比如 (1, 5) 和 (5, 1)，都是等可能的。两个整数都是 3 的概率是多少？

4.30%

概率中的分类讨论

在本节中，你将能够 把想要的结果分成几种情况，分别计数，再加起来。

掷三颗骰子，一共有 216 种结果，一个一个列出来实在太多了。怎样才能不手忙脚乱地数出想要的结果呢？

把想要的结果分成互不重叠的情况。分别数出每种情况，再加起来。所有结果的总数通常是最容易求的部分。

动手探索先玩，再学公式

6 × 6 × 6 = 216 种投掷结果；和为 18：1/216 = 1/216

骰子 1 (6) × 骰子 2 (6) × 骰子 3 (6) = 216 种等可能的投掷结果

骰子 3 = 1
1234561234563456784567895678910678910117891011128910111213左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
骰子 3 = 2
123456123456456789567891067891011789101112891011121391011121314左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
骰子 3 = 3
123456123456567891067891011789101112891011121391011121314101112131415左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
骰子 3 = 4
12345612345667891011789101112891011121391011121314101112131415111213141516左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
骰子 3 = 5
123456123456789101112891011121391011121314101112131415111213141516121314151617左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
骰子 3 = 6
123456123456891011121391011121314101112131415111213141516121314151617131415161718左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
1216\frac{1}{216}

和为 18：216 种投掷结果中有 1 种符合，概率为 1/216

认识概念

概念 4.3.1 · 概率中的分类讨论

当题目要求某个事件的概率时，你常常需要用分类讨论来数出符合要求的结果数。然后再除以结果总数，而结果总数通常很容易求。

看例题先预测，再揭晓

例 4.4

掷 4 次骰子，掷出的 4 个数的积是 648 的倍数的概率是多少？

  1. 1

    把 648648 分解质因数。它有几个因数 33？

    先预测一下：
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自己做

习题 4.7.5

AMC 8 Modified

把一颗均匀的 6 面骰子掷两次。第一次掷出的数大于第二次掷出的数的概率是多少？

习题 4.7.17

MATHCOUNTS

把一个均匀的四面体骰子（四个面分别标有 1、2、3、4）掷三次。掷出的数之和为 7 的概率是多少？答案用最简分数表示。

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.10

AMC 10

掷三颗均匀的六面骰子。其中两颗骰子上的数之和等于剩下那颗骰子上的数的概率是多少？

习题 4.7.11

AMC 8

在一个正八边形中，随机选出三个顶点，连成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是八边形的边的概率是多少？

习题 4.7.12

AMC 10

掷 7 颗均匀的标准 6 面骰子，朝上一面的数之和为 10 的概率可以写成

n67,\frac{n}{6^7},

其中 nn 是正整数。nn 是多少？

过关检测（第 4.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

掷两颗 6 面骰子。和至少为 10 的概率是多少？

2

掷两颗 6 面骰子。积是 5 的倍数的概率是多少？

3

把一枚均匀的硬币抛 3 次。恰好出现 2 次正面的概率是多少？

4.40%

独立事件的概率

在本节中，你将能够 把独立事件的概率相乘。

你把一枚硬币抛两次。硬币没有记忆：第一次的结果改变不了第二次。那么两次都是正面的概率是多少？

如果一个事件不会改变另一个事件发生的可能性，这两个事件就是独立的。这时你可以分别求出每个概率，再把它们相乘。 树形图能说明原因：每个分支都按同样的分数再分一次。

动手探索先玩，再学公式

叶子 1/4, 1/4, 1/4, 1/4；选中叶子之和 1/4

P(第 1 次正面)1/2
P(第 2 次正面 | 第 1 次正面)1/2
硬币 1硬币 21/2正面1/2正面1/2反面1/2反面1/2正面1/2反面
已选叶子合计：1/4

独立吗？ P(第 2 次正面 | 第 1 次正面) = 1/2，而 P(第 2 次正面) = 1/2. 相等，所以是独立的。

已选：正面，然后正面。合计 1/4。独立。

认识概念

注 4.4.1

当你要求 22 个独立事件同时发生的概率时（两个事件的结果互不影响），先分别求出每个事件的概率，再把它们相乘。

看例题先预测，再揭晓

例 4.5

Sohil 从 1 到 10 中随机选一个数。Sejal 从 1 到 25 中随机选一个数。他们选的两个数的积是奇数的概率是多少？

叶子 13/50, 6/25, 13/50, 6/25；没有选中叶子

P(Sohil 选奇数)5/10
P(Sejal 选奇数 | Sohil 选奇数)13/25
SohilSejal1/2Sohil 选奇数13/25Sejal 选奇数12/25Sejal 选偶数1/2Sohil 选偶数13/25Sejal 选奇数12/25Sejal 选偶数
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(Sejal 选奇数 | Sohil 选奇数) = 13/25，而 P(Sejal 选奇数) = 13/25. 相等，所以是独立的。

已选：无。合计 0。独立。

  1. 1

    首先，积为奇数的 2 个数有什么特点？

    先预测一下：

例 4.6

Omega Learn

A 掷一颗标有数字 1、1、2、6、15、30 的骰子，B 掷一颗标有数字 1、2、4、18、28、44 的骰子。两个数的积是 24 的倍数的概率是多少？

6 × 6 = 36 种等可能的投掷结果

A 的骰子 (6) × B 的骰子 (6) = 36 种等可能的投掷结果

12418284411261530左侧是A 的骰子，顶部是B 的骰子。
选一个条件，让符合的格子亮起来。

6 × 6 = 36 种等可能的投掷结果。选一个条件吧。

  1. 1

    一共有多少种结果？

    先预测一下：
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自己做

习题 4.7.4

AMC 8

把一枚均匀的硬币抛 3 次。至少出现两次连续正面的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.19

Omega Learn Math Competition

Joe 站在无限大的坐标平面上的点 (0,0) 处。每走一步，他有 13\frac{1}{3} 的概率向上走，13\frac{1}{3} 的概率向右走，16\frac{1}{6} 的概率向下走，16\frac{1}{6} 的概率向左走。如果他在不超过 8 步内到达点 (3,3) 的概率可以写成 a3b\frac{a}{3^b}，那么 a+ba + b 的值是多少？

习题 4.7.20

Omega Learn Math Competition

Blazers 队和 Cortzans 队进行 7 场比赛的系列赛。先赢 4 场的队伍赢得系列赛。两队赢下每一场比赛的可能性相同。如果 Cortzans 队赢得系列赛并且输的场数少于 3 场的概率可以写成 mn\frac{m}{n}，求 m+nm + n 的值。

习题 4.7.21

AMC 8

在下图所示的飞镖靶上，外圆的半径是 6，内圆的半径是 3。三条半径把每个圆都分成三个全等的区域，各区域的分值如图所示。飞镖击中某个区域的概率与这个区域的面积成正比。两支飞镖击中靶子时，得分是被击中区域的分值之和。得分为奇数的概率是多少？

过关检测（第 4.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

你抛一枚硬币，再掷一颗 6 面骰子。得到正面并且掷出 6 的概率是多少？

2

你转动一个标有 1 到 4 的转盘，再掷一颗 6 面骰子。两个数都是偶数的概率是多少？

3

把一枚均匀的硬币抛 4 次。每次都是正面的概率是多少？

4.50%

相关事件的概率

在本节中，你将能够 当第二个事件依赖于第一个事件时，沿着分支相乘。

七名选手赛跑。如果 Chase 得了第 1 名，George 还能得第 1 名吗？不能！知道一个结果，会改变另一个结果的可能性。

当事件相关（不独立）时，用第一个事件的概率，乘以在第一个事件已经发生的条件下第二个事件的概率。 在树形图上就是：沿着一条路径相乘，再把你想要的路径加起来。

动手探索先玩，再学公式

叶子 6%, 14%, 8%, 72%；没有选中叶子

P(周六下雨)20%
P(周日下雨 | 周六下雨)30%
P(周日下雨 | 周六不下雨)10%
星期六星期日20%下雨30%下雨70%不下雨80%不下雨10%下雨90%不下雨
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(周日下雨 | 周六下雨) = 30%，而 P(周日下雨) = 14%. 不相等，所以不独立（相关）。

已选：无。合计 0%。不独立（相关）。

认识概念

注 4.5.1

当事件是相关的（就像例 4.7 那样），事件 AA 和 BB 都发生的概率，等于 AA 的概率乘以在 AA 已经发生的条件下 BB 发生的概率：

P(A 且 B)=P(A)×P(B∣A).P(A \text{ 且 } B) = P(A) \times P(B \mid A).

看例题先预测，再揭晓

例 4.7

Alex、Betty、Chase、Derek、Emma、Fiona 和 George 参加马拉松比赛。如果他们按随机顺序完赛，Chase 得第 1 名并且 George 得第 6 名的概率是多少？

叶子 1/42, 5/42, 5/42, 31/42；没有选中叶子

第 1 名第 6 名1/7Chase 第 11/6George 第 65/6George 不是第 66/7Chase 不是第 15/36George 第 631/36George 不是第 6
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(George 第 6 | Chase 第 1) = 1/6，而 P(George 第 6) = 1/7. 不相等，所以不独立（相关）。

已选：无。合计 0。不独立（相关）。

  1. 1

    能不能像第 4.4 节那样，直接把 P(Chase 第 1) 和 P(George 第 6) 相乘？

    先预测一下：

例 4.8

星期六有 20% 的概率下雨。如果星期六下雨，星期日有 30% 的概率下雨；如果星期六没下雨，星期日只有 10% 的概率下雨。两天都下雨或两天都不下雨的概率是多少？

叶子 6%, 14%, 8%, 72%；没有选中叶子

P(周六下雨)20%
P(周日下雨 | 周六下雨)30%
P(周日下雨 | 周六不下雨)10%
星期六星期日20%下雨30%下雨70%不下雨80%不下雨10%下雨90%不下雨
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(周日下雨 | 周六下雨) = 30%，而 P(周日下雨) = 14%. 不相等，所以不独立（相关）。

已选：无。合计 0%。不独立（相关）。

  1. 1

    两天都下雨的概率是多少？

    先预测一下：
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例 4.9

AIME

星期六有 40% 的概率下雨，星期日有 30% 的概率下雨。不过，如果星期六下雨，星期日下雨的可能性是星期六不下雨时的两倍。这个周末至少有一天下雨的概率是 ab\frac{a}{b}，其中 aa 和 bb 是互质的正整数。求 a+ba + b。

叶子 0, 2/5, 0, 3/5；没有选中叶子

P(周六下雨)4/10
P(周日下雨 | 周六下雨)0/14
P(周日下雨 | 周六不下雨)0/14
星期六星期日2/5下雨0下雨1不下雨3/5不下雨0下雨1不下雨
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(周日下雨 | 周六下雨) = 0，而 P(周日下雨) = 0. 相等，所以是独立的。

已选：无。合计 0。独立。

  1. 1

    设 xx 是星期六不下雨时星期日下雨的概率。星期六下雨时，星期日下雨的概率是多少？

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自己做

习题 4.7.15

Omega Learn Math Contest

John 有 9 个红苹果和 3 个绿苹果。他随机挑一个苹果吃掉。然后，有 3 个红苹果烂了，被扔掉。他再从剩下的苹果中随机挑一个吃掉。两次挑到的苹果都是红苹果的概率是 ab\frac{a}{b}，a+ba + b 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.8

AMC 8

一顶礼帽里有 3 个红色筹码和 2 个绿色筹码。每次随机取出一个筹码，不放回，直到 3 个红色筹码都被取出，或者 2 个绿色筹码都被取出为止。3 个红色筹码都被取出的概率是多少？

习题 4.7.13

AMC 10

Bob 和 Alice 各有一个袋子，每个袋子里都有蓝、绿、橙、红、紫五种颜色的球各一个。Alice 从她的袋子里随机取出一个球，放进 Bob 的袋子。然后 Bob 从他的袋子里随机取出一个球，放进 Alice 的袋子。这样操作之后，两个袋子里的东西完全相同的概率是多少？

习题 4.7.14

AMC 8

海滩上有 50 个人戴着太阳镜，35 个人戴着帽子。有些人既戴太阳镜又戴帽子。如果从戴帽子的人中随机选一个人，这个人也戴着太阳镜的概率是 25\frac{2}{5}。如果改成从戴太阳镜的人中随机选一个人，这个人也戴着帽子的概率是多少？

习题 4.7.22

Omega Learn Math Competition

Eric 在搭二十六块叠叠乐积木。对于 n≥1n \ge 1，假设放完 n−1n - 1 块积木后塔还立着，那么放第 nn 块积木使整座塔倒塌的概率是 126−n\frac{1}{26-n}。在使塔倒塌的那块积木之前，放好的积木块数的期望值是多少？

过关检测（第 4.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个袋子里有 4 颗红弹珠和 2 颗蓝弹珠。你摸出两颗弹珠，第一颗不放回。两颗都是红弹珠的概率是多少？

2

Ann、Ben、Cat、Dan 和 Eve 按随机顺序跑完一场比赛。Ann 得第 1 名并且 Ben 得第 2 名的概率是多少？

3

星期一有 50% 的概率下雨。如果星期一下雨，星期二有 60% 的概率下雨；如果星期一不下雨，星期二只有 20% 的概率下雨。两天都下雨的概率是多少？

4.60%

相关还是独立？

在本节中，你将能够 分辨相关事件和独立事件，并会处理这两种情况。

Mark 和 Steve 是死对头，而老师随机安排座位。Steve 会不会坐到 Mark 的那一行或那一列？

问问自己：第一个结果会改变第二个结果的选择吗？这里 Mark 占了一把椅子，所以 Steve 就少了一把椅子可选。 这说明两个座位是相关的。先做第一个选择，再数剩下的情况。

动手探索先玩，再学公式

3 × 3 把椅子：Steve 有 8 个座位，其中 4 个不和 Mark 同行或同列，概率为 1/2

行数3
列数3

点击一把椅子，让 Mark 坐下。阴影椅子和他同行或同列。

48=12\frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Steve 有 8 把空椅子：4 把在 Mark 的行或列上，4 把是安全的。把 Mark 挪到别处：答案会变吗？

Mark 坐在第 2 行第 2 列。Steve 有 8 个座位可坐；其中 4 个和 Mark 同行或同列，4 个不是。概率为 1/2。

看例题先预测，再揭晓

例 4.10

Omega Learn

Mark 要从教室里 5×55 \times 5 排列的椅子中选一个座位。他的死对头 Steve 不喜欢 Mark，所以想选一个不和 Mark 同行也不同列的座位。可是让他失望的是，老师随机安排座位。Steve 不和 Mark 坐在同一行或同一列的概率是多少？

5 × 5 把椅子：Steve 有 24 个座位，其中 16 个不和 Mark 同行或同列，概率为 2/3

点击一把椅子，让 Mark 坐下。阴影椅子和他同行或同列。

概率：先数，再除！

Steve 有 24 把空椅子：8 把在 Mark 的行或列上，16 把是安全的。把 Mark 挪到别处：答案会变吗？

Mark 坐在第 3 行第 3 列。Steve 有 24 个座位可坐；其中 8 个和 Mark 同行或同列，16 个不是。

  1. 1

    让 Mark 坐在任意一把椅子上。Steve 还剩几把椅子？

    先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.25（补充题）

MATHCOUNTS

考虑如图所示的正八面体。八面体的每条棱长都是 1。一只蚂蚁从顶点 A 出发，沿着八面体的棱一共爬了 3 个单位长。每当蚂蚁到达八面体的一个顶点时，它会从除了刚刚爬过来的那条棱以外的棱中，随机选一条接着爬。图中画出了蚂蚁可能走的一条路径。蚂蚁最后离出发点 A 的距离大于 1 的概率是多少？答案用最简分数表示。

过关检测（第 4.6 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

在 4 × 4 排列的椅子中，随机给 Mark 和 Steve 安排两个不同的座位。Steve 不在 Mark 那一行也不在 Mark 那一列的概率是多少？

2

从一副标准的 52 张扑克牌中不放回地抽出两张牌。两张都是 A 的概率是多少？

3

你把一颗骰子掷两次。“第一次掷出 6”和“第二次掷出 6”这两个事件是独立的吗？

4.7

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有概率技巧。

是时候把所有方法混在一起用了！这些题会用到计数、分类讨论、有序对和树形图。每道题都有三条提示，卡住时可以看看。

想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。

综合练习

习题 4.7.23（补充题）

AMC 8

Jamal 的抽屉里有 6 只绿袜子、18 只紫袜子和 12 只橙袜子。他又放进了一些紫袜子，之后发现：从抽屉里随机取出一只袜子，是紫袜子的概率变成了 60%。Jamal 放进了多少只紫袜子？

竞赛角真实竞赛题

习题 4.7.24（补充题）

MATHCOUNTS

从 11!11! 的正因数中随机选一个。这个因数是质数的概率是多少？答案用最简分数表示。