9. 几何计数 · Mastering AMC 8

9.10%

几何计数基础

在本节中，你将能够 通过选 3 个点来数三角形，并去掉在同一条直线上的 3 点组。

画一个八边形，把它的任意 3 个顶点连起来。你得到了一个三角形！一共能画出多少个不同的三角形？先猜一猜，再动手数。

一个三角形由它的 3 个顶点确定。所以数三角形，其实就是数 3 个点的组数。

注意：在同一条直线上的 3 个点只能连成一条扁平的线段，不是三角形。先数出所有 3 点组，再减去这些扁平的组。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 点八边形的任意 3 个顶点。总能得到一个三角形吗？
试一试： 多按几次“随机三角形”。一共有多少组 3 个顶点？和 8 × 7 × 6 ÷ 6 一样吗？
试一试： 按“点阵”，选中间那一行的 3 个点。出了什么问题？
试一试： 打开“显示过 3 个以上点的直线”。有几条红线？为什么要减掉它们？

看例题先预测，再揭晓

例 9.1

连接正八边形的顶点，可以组成多少个三角形？

1
确定一个三角形需要几个顶点？

先预测一下：
你的预测

自己做

习题 9.5.1

连接下图中的 3 个点，可以组成多少个三角形？

竞赛角真实竞赛题

习题 9.5.6

Omega Learn Math Contest

这个图形中有多少个三角形？

过关检测（第 9.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

9.20%

方格中的正方形个数

在本节中，你将能够 按大小逐一数出方格中各种大小的正方形。

4 × 4 的方格里有多少个正方形？如果你说 16，再仔细看看：外面那个大正方形也算，2 × 2 的正方形也算！

按大小逐一数正方形。正方形越大，能放的位置越少，所以每种大小的个数都是一个更小的完全平方数。

动手探索先玩，再学公式

行数4

列数4

正方形大小1

各种大小的正方形个数
大小	个数	累计
1 × 1	4 × 4 = 16	16
2 × 2	3 × 3 = 9	25
3 × 3	2 × 2 = 4	29
4 × 4	1 × 1 = 1	30

16 + 9 + 4 + 1 = 30 个正方形

试一试： 把“正方形大小”设成 2，一直按“移动正方形”，直到它回到起点。它一共到过几个位置？
试一试： 试试大小 1、2、3 和 4。16、9、4、1 这几个数有什么规律？
试一试： 把方格改成 5 × 5。先预测新的总数，再看表格。

认识概念

定理 9.2.1 · 方格中的正方形个数

在 $n \times n$ 的正方形方格中，正方形的个数是

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

看例题先预测，再揭晓

例 9.2

在由单位正方形组成的 4x4 方格中，一共能找到多少个各种大小的正方形？

行数4

列数4

正方形大小1

各种大小的正方形个数
大小	个数	累计
1 × 1	4 × 4 = 16	16
2 × 2	3 × 3 = 9	25
3 × 3	2 × 2 = 4	29
4 × 4	1 × 1 = 1	30

16 + 9 + 4 + 1 = 30 个正方形

1
数出所有正方形，最简单、最有条理的方法是什么？

自己做

习题 9.5.2

在由单位正方形组成的 3x3 方格中，一共能找到多少个各种大小的正方形？

习题 9.5.15（补充题）

一个 5x5 的正方形方格缺了 2 个对角位置的角，其中有多少个正方形？

过关检测（第 9.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

9.30%

方格中的长方形个数

在本节中，你将能够 通过选 2 条横线和 2 条竖线，数出方格中的长方形。

一块巧克力是 3 × 5 的方格。你可以掰下任意一块长方形的巧克力。一共能掰出多少种不同的长方形？

每个长方形都有上边、下边、左边和右边。选好这几条线，长方形就确定了。

注意：正方形也是长方形。要数不是正方形的长方形，就先数出所有长方形，再减去正方形。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 点 2 条横线和 2 条竖线。总能得到一个长方形吗？
试一试： 从 4 条横线中选 2 条，有多少种选法？把它们列出来！
试一试： 打开“只数非正方形”。选中哪些长方形时会变红？

认识概念

定理 9.3.1 · 方格中的长方形个数

在 $m \times n$ 的长方形方格中，各种大小的长方形个数的一般公式是

\binom{m+1}{2} \times \binom{n+1}{2}.

看例题先预测，再揭晓

例 9.3

在 3x5 的长方形方格中，一共有多少个长方形？

1
在方格中，什么能确定一个长方形？

先预测一下：

例 9.4

Omega Learn

在 $5 \times 4$ 的正方形方格中，有多少个不是正方形的长方形？

1
直接数非正方形的长方形很麻烦。数什么更容易？

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例 9.5

Omega Learn

在 5 乘 5 的点阵中，能找到多少个边长为 $\sqrt{5}$ 的正方形？

1
边长为 $\sqrt{5}$ 的正方形能“平放”吗，也就是边沿着网格线？

先预测一下：

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自己做

习题 9.5.3

在 $4 \times 6$ 的正方形方格中，有多少个任意大小的长方形？

习题 9.5.8（补充题）

在 $4 \times 6$ 的正方形方格中，有多少个任意大小的长方形？

习题 9.5.16（补充题）

下图中有多少个长方形？

竞赛角真实竞赛题

习题 9.5.14（补充题）

AMC 8

用牙签摆成一个长 60 根牙签、宽 32 根牙签的方格。一共用了多少根牙签？

过关检测（第 9.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

9.40%

路径计数

在本节中，你将能够 把每条路径变成由 R 和 U 组成的单词，数出方格中只向右、向上走的路径。

一只兔子在 (0,0)，想去 (5,5) 吃胡萝卜。它只能向右或向上跳。它一共可以走多少条不同的路线？先猜一猜！

把每条路线写成一个单词：向右跳写 R，向上跳写 U。不同的路线对应不同的单词。所以数路线就等于数字母重排。

注意：如果某个点被挡住了，就先数出所有路径，再减去经过这个被挡住的点的路径。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 随便画一条到胡萝卜的路线。向右跳了几次（R）？向上跳了几次（U）？
试一试： 打开“杨辉三角填数”。胡萝卜上是哪个数？为什么每个数都等于它左边和下面两个数之和？
试一试： 把行程改成向右 3 步、向上 2 步。先预测路径数，再看答案。

认识概念

定理 9.4.1 · 格路

只向上和向右走，从 $(0,0)$ 走到点 $(m,n)$ 的方法数是

\binom{m+n}{m}.

看例题先预测，再揭晓

例 9.6

一只兔子在坐标平面上行走，要从 (0,0) 走到点 (5,5) 处的胡萝卜。如果兔子每一步只能向上走 1 个单位或向右走 1 个单位，那么兔子走到胡萝卜有多少种方法？

1
兔子要走到胡萝卜，需要向右走几步、向上走几步？

先预测一下：
你的预测: R 的步数你的预测: U 的步数

例 9.7

只向右或向上走，从 (0, 0) 走到 (5, 6)，但不能把 (1, 2)、(3, 4) 和 (5, 5) 这三个点全都经过，因为有一只怪兽：如果你经过了全部 3 个地点，它就会把你吃掉。一共有多少种走法？

1
你可以经过其中一个或两个点，只是不能三个都经过。哪个更容易数：安全的路径，还是被吃掉的路径？

先预测一下：

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例 9.8

BMMT

Sally 在一个围栏里，围栏由满足 $0 \le a \le b \le 4$ 的点 $(a, b)$ 组成。如果她现在在点 $(x, y)$ ，她可以走到 $(x, y + 1)$ 、 $(x, y - 1)$ 或 $(x + 1, y)$ 。已知她不能重复经过已经到过的点，求她从 $(0, 0)$ 走到 $(4, 4)$ 的方法数。

1
Sally 从不向左走。那么她一旦向右走出某一列，还能回到这一列吗？

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例 9.9

AMC 8

一个游戏棋盘由 64 个黑白相间的方格组成。下图中，方格 $P$ 在最下面一行，方格 $Q$ 在最上面一行。一枚棋子放在 $P$ 上。每一步把棋子移到上一行中与它相邻的某个白格上。从 $P$ 到 $Q$ 的 7 步路径有多少条？（图中给出了一条示例路径。）

1
棋子从一个白格出发，可以走到哪些格子？

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自己做

习题 9.5.4

一只老鼠站在方格的 (0,0) 处。方格上 (5,5) 处有一块奶酪。它只能向右或向上走。它走到奶酪处有多少条不同的路径？

习题 9.5.11（补充题）

Josh 从点 (0,0) 出发，要回到位于点 (6,7) 的家。点 (2,3) 处着火了，所以他不能经过那里。如果他只能向上或向右走，Josh 回家一共有多少种走法？

习题 9.5.12（补充题）

Josh 从点 (0,0) 出发，要回到位于点 (6,7) 的家。点 (2,3) 处着火了，所以他不能经过那里。另外，他还要去点 (5,5) 处的图书馆取一本书。如果他只能向上或向右走，Josh 先取书再回家一共有多少种走法？

习题 9.5.13（补充题）

Josh 现在回到了位于点 (6,7) 的家，却发现有东西忘在了位于点 (8,11) 的学校。因为他急着在学校关门前赶到，所以现在除了向上和向右走之外，他也愿意斜着走（向右上）。他到达学校一共有多少种走法？

竞赛角真实竞赛题

习题 9.5.5

AMC 8

Samantha 家位于 City Park（城市公园）西南角以西 2 个街区、以南 1 个街区处。她的学校位于 City Park 东北角以东 2 个街区、以北 2 个街区处。每个上学日，她沿街道骑车到 City Park 的西南角，然后走公园里的一条对角线小路到东北角，再沿街道骑车到学校。如果她的路线尽可能短，她一共有多少条不同的路线可走？

习题 9.5.7

Omega Learn Math Contest

Joe 站在无限坐标平面上的点 (0,0) 处。每走一步，他向上走的概率是 $\frac{1}{3}$ ，向右走的概率是 $\frac{1}{3}$ ，向下走的概率是 $\frac{1}{6}$ ，向左走的概率是 $\frac{1}{6}$ 。如果他在不超过 8 步之内到达点 (3,3) 的概率可以写成 $\frac{a}{3^b}$ ，那么 a + b 的值是多少？

过关检测（第 9.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

9.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用三角形、正方形、长方形和路径计数。

现在把所有方法混在一起用！这些题会用到本章的每一个技巧：选点、选线，以及把路径变成单词。

想在一页里看到本章的所有题目吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 9.5.10（补充题）

EMCC

一只青蛙位于原点。它跳四次，每次向右跳 1 个单位或向左跳 1 个单位。如果它最后也停在原点，那么它一共有多少条 4 跳路径？

习题 9.5.17（补充题）

BmMT

Leanne 和 Jing Jing 在 $xy$ 平面上行走。每一步，Leanne 可以从任意点 $(x, y)$ 走到 $(x + 1, y)$ 或 $(x, y + 1)$ ；Jing Jing 可以从 $(x, y)$ 走到 $(x - 2, y + 5)$ 或 $(x + 3, y - 1)$ 。Leanne 从 $(0, 0)$ 走到 $(20, 20)$ 的方法数，等于 Jing Jing 从 $(0, 0)$ 走到 $(a, b)$ 的方法数，其中 a 和 b 是正整数。求 $a + b$ 的最小可能值。