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Mastering
AMC 8
代数 · 第 16 章

裂项相消

把一个巨大的和或积写出开头几项和末尾几项，看着中间部分互相抵消，留下剩下的部分。

这一章讲什么？
你需要先会
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16.10%

裂项相消

在本节中，你将能够 看到一个很长的和像望远镜一样收起来，只剩下几小块。

海盗的望远镜拉开时很长。推一下末端，每一节镜筒就滑进下一节里。很快它就变得很短！有些和式也是这样。

每个分数 1/(k(k+1)) 都可以拆成两块：1/k − 1/(k+1)。一项里减去的那一块，正好是下一项里加上的那一块。它们抵消了！

注意：全部抵消之后，只剩下最前面的一块和最后面的一块。

动手探索先玩，再学公式

k 从 1 到 4 的 1/(k(k+1)) 之和：每个 −1/(k+1) 都和下一项的 +1/(k+1) 抵消，剩下 1/1 − 1/5 = 4/5

最后的 k4
1/(1·2)(11 − 12)
+1/(2·3)(12 − 13)
+1/(3·4)(13 − 14)
+1/(4·5)(14 − 15)
已抵消 0 / 3 次

已完成 0 / 3 次抵消

过关检测（第 16.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

求 11⋅2+12⋅3+13⋅4\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}。

2

求 21⋅32⋅43⋅54\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}。

3

在裂项求和中，全部抵消之后还剩下什么？

16.20%

裂项相消基础

在本节中，你将能够 认出裂项相消的题目，写出开头几项和末尾几项，把中间部分消掉。

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + … 一直算到 1000，结果是多少？用手把一千个数加起来可一点也不好玩。一定有捷径！

你永远不用把每一项都写出来。只写开头几项和末尾几项。找一找能互相抵消的块，或者值全都相同的组。

注意：如果一道题看起来根本没法用手算，那它的窍门很可能就是裂项相消。

动手探索先玩，再学公式

20 项：10 组（每组 2 项），每组的值都是 -1；总和 -10

每组项数2
( 1 − 2 )= ?( 3 − 4 )= ?( 5 − 6 )= ?⋯( 17 − 18 )= ?( 19 − 20 )= ?
已算出 0 / 5 组

已算出 0 / 5 组

认识概念

概念 16.2.1 · 裂项相消

写出开头几项和末尾几项，把你看到的能抵消的项都消掉。

注 16.2.2

一般来说，只要遇到很长、看起来很难甚至不可能用手算的式子，很可能就要用到裂项相消。

自己做

习题 16.6.4

AMC 8

求式子 100−98+96−94+92−90+⋯+8−6+4−2100 - 98 + 96 - 94 + 92 - 90 + \cdots + 8 - 6 + 4 - 2 的值。

习题 16.6.1

AMC 8

4⋅(−1+2−3+4−5+6−7+⋯+1000)4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000) 的值是多少？

过关检测（第 16.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

求 1−2+3−4+⋯+19−201 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 19 - 20。

2

求 10−9+8−7+6−5+4−3+2−110 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1。

3

求 (12−13)+(13−14)+⋯+(199−1100)\left(\frac12 - \frac13\right) + \left(\frac13 - \frac14\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)。

16.30%

裂项求和

在本节中，你将能够 通过抵消或分组，求出一长串分数或带正负号的平方数的和。

你能心算 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 吗？听起来很难。但这些分数其实偷偷地都是差！

关键事实：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。把每一项都拆开，中间的块就会两两抵消。

带有加号和减号的长串式子也可以这样做。找一个合适的每组项数，让每一组的值都相同。然后数一数有多少组。

动手探索先玩，再学公式

k 从 1 到 9 的 1/(k(k+1)) 之和：每个 −1/(k+1) 都和下一项的 +1/(k+1) 抵消，剩下 1/1 − 1/10 = 9/10

最后的 k9
1/(1·2)(11 − 12)
+1/(2·3)(12 − 13)
+1/(3·4)(13 − 14)
+⋯
+1/(8·9)(18 − 19)
+1/(9·10)(19 − 110)
已抵消 0 / 5 次

已完成 0 / 5 次抵消

看例题先预测，再揭晓

例 16.1

EMCC

计算 (12−32+52−72+92−⋯+20092)−(22−42+62−82+102−⋯+20102)(1^2 - 3^2 + 5^2 - 7^2 + 9^2 - \cdots + 2009^2) - (2^2 - 4^2 + 6^2 - 8^2 + 10^2 - \cdots + 2010^2)

2010 项：1005 组（每组 2 项），各组的值不全相等；总和 -2011

每组项数2
( 1² − 2² )= ?( −3² + 4² )= ?( 5² − 6² )= ?⋯( −2007² + 2008² )= ?( 2009² − 2010² )= ?
已算出 0 / 5 组

已算出 0 / 5 组

  1. 1

    把两个括号都去掉，并按 12,22,32,…1^2, 2^2, 3^2, \ldots 的顺序排好各项。你得到的符号是什么样的？

    先预测一下：
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例 16.2

求 16+112+120+130+142+156+172\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72}

k 从 2 到 8 的 1/(k(k+1)) 之和：每个 −1/(k+1) 都和下一项的 +1/(k+1) 抵消，剩下 1/2 − 1/9 = 7/18

1/(2·3)(12 − 13)
+1/(3·4)(13 − 14)
+1/(4·5)(14 − 15)
+1/(5·6)(15 − 16)
+1/(6·7)(16 − 17)
+1/(7·8)(17 − 18)
+1/(8·9)(18 − 19)
已抵消 0 / 6 次

已完成 0 / 6 次抵消

  1. 1

    看看分母：6=2⋅36 = 2 \cdot 3，12=3⋅412 = 3 \cdot 4，20=4⋅520 = 4 \cdot 5。最后一个分母是 72=k(k+1)72 = k(k+1)。kk 是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 16.6.10（补充题）

计算 12×3+13×4+⋯+110×11\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{10 \times 11}

竞赛角真实竞赛题

习题 16.6.6（补充题）

AMC 8

1+3+5+⋯+2017+2019−2−4−6−⋯−2016−20181 + 3 + 5 + \cdots + 2017 + 2019 - 2 - 4 - 6 - \cdots - 2016 - 2018 的值是多少？

习题 16.6.9（补充题）

MATHCOUNTS

如果 n=102020−102019+102018−102017+⋯+102−101n = 10^{2020} - 10^{2019} + 10^{2018} - 10^{2017} + \cdots + 10^2 - 10^1，那么整数 nn 的各位数字之和是多少？

习题 16.6.11（补充题）

Omega Learn

计算 1−2−3+4+5+6−7−8−9−10⋯+90+911 - 2 - 3 + 4 + 5 + 6 - 7 - 8 - 9 - 10 \cdots + 90 + 91（先是 1 个连续的正数，再是 2 个连续的负数，再是 3 个连续的正数，……）

过关检测（第 16.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

求 11⋅2+12⋅3+⋯+19⋅10\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{9 \cdot 10}。

2

求 112+120+130\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}。

3

求 22−12+42−32+62−522^2 - 1^2 + 4^2 - 3^2 + 6^2 - 5^2。

16.40%

裂项求积

在本节中，你将能够 计算一长串分数的连乘，其中每个分子都会和某个分母约掉。

3/2 × 4/3 × 5/4 × … × 2006/2005 等于多少？这可是两千多个分数！仔细看看那些 3 和 4。

乘积也能裂项相消。当一个分数的分子和另一个分数的分母相同时，它们就约掉了。最后只有少数几个分子和分母留下来。

注意：有时一个分子约掉的是隔了两个分数的那个分母，而不是紧挨着的下一个。检查一下两端各剩下什么。

动手探索先玩，再学公式

k 从 1 到 4 的 4 个分数之积：抵消之后剩下 5 / 1 = 5

最后的 k4
21
×32
×43
×54
已抵消 0 / 3 次

已完成 0 / 3 次抵消

看例题先预测，再揭晓

例 16.3

Omega Learn

34×46×58×⋯×1018\frac{3}{4} \times \frac{4}{6} \times \frac{5}{8} \times \cdots \times \frac{10}{18} 的值是多少？（每个分数的分母都等于分子的 2 倍减 2）

k 从 3 到 10 的 8 个分数之积：抵消之后剩下 10 / 2^9 = 5/256

32·2
×42·3
×52·4
×62·5
×72·6
×82·7
×92·8
×102·9
已抵消 0 / 7 次

已完成 0 / 7 次抵消

  1. 1

    分母是 2n−2=2(n−1)2n - 2 = 2(n-1)。所以 34=32⋅2\frac{3}{4} = \frac{3}{2 \cdot 2}，46=42⋅3\frac{4}{6} = \frac{4}{2 \cdot 3}。从 34\frac{3}{4} 到 1018\frac{10}{18}，一共有多少个分数？

    先预测一下：
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自己做

习题 16.6.3

AMC 8

乘积 (1+11)⋅(1+12)⋅(1+13)⋅(1+14)⋅(1+15)⋅(1+16)\left(1+\frac{1}{1}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{4}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{5}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{6}\right) 的值是多少？

习题 16.6.7（补充题）

AMC 8

32×43×54×⋯×20062005\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \cdots \times \frac{2006}{2005} 的积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 16.6.2

AMC 8

式子 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅81+2+3+4+5+6+7+8\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8} 的值是多少？

习题 16.6.5

AMC 8

乘积 (1⋅32⋅2)(2⋅43⋅3)(3⋅54⋅4)⋯\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}\right)\left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\right)\left(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right) \cdots (97⋅9998⋅98)(98⋅10099⋅99)\left(\frac{97 \cdot 99}{98 \cdot 98}\right)\left(\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}\right) 的值是多少？

习题 16.6.8（补充题）

AMC 8

13⋅24⋅35⋯1820⋅1921⋅2022\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdots \frac{18}{20} \cdot \frac{19}{21} \cdot \frac{20}{22} 的值是多少？

过关检测（第 16.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

求 (1−12)(1−13)\left(1 - \frac12\right)\left(1 - \frac13\right) (1−14)⋯(1−110)\left(1 - \frac14\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{10}\right)。

2

求 43⋅54⋅65⋯3029\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{30}{29}。

3

求 13⋅24⋅35⋅46⋅57\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{5}{7}。

16.50%

方程的裂项相消

在本节中，你将能够 把相邻的方程相减，让它们共有的未知数抵消掉。

你有 2021 个方程和 2022 个未知数。听起来毫无希望！但每个方程都和下一个方程共有一个未知数。

用后一个方程减去前一个方程。共有的未知数就抵消了，就像裂项求和一样。你会得到 x3−x1=1x_3 - x_1 = 1，x4−x2=1x_4 - x_2 = 1，依此类推。

所以每隔一个未知数，值就恰好增加 1。把所有未知数都用 x1x_1 表示，再用题目给的额外条件求出 x1x_1。

动手探索先玩，再学公式

5 个方程 x_k + x_(k+1) = k：相邻方程相减，公共的 x 抵消，得到 x_(k+2) − x_k = 1，所以 x_2022 = 1011 − x₁

方程个数5
  1. x1 + x2 = 1
  2. x2 + x3 = 2
  3. x3 + x4 = 3
  4. x4 + x5 = 4
  5. x5 + x6 = 5
  6. ⋮
  1. 用后一个方程减去前一个方程。
已相减 0 / 4 次

已完成 0 / 4 次相减

看例题先预测，再揭晓

例 16.4

BmMT

设 x1,x2,…,x2022x_1, x_2, \ldots, x_{2022} 是一列实数，满足：

x1+x2=1x2+x3=2⋮x2021+x2022=2021\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 1 \\ x_2 + x_3 &= 2 \\ & \vdots \\ x_{2021} + x_{2022} &= 2021 \end{aligned}

如果 x1+x499+x999+x1501=222x_1 + x_{499} + x_{999} + x_{1501} = 222，那么 x2022x_{2022} 的值是多少？

5 个方程 x_k + x_(k+1) = k：相邻方程相减，公共的 x 抵消，得到 x_(k+2) − x_k = 1，所以 x_2022 = 1011 − x₁

方程个数5
  1. x1 + x2 = 1
  2. x2 + x3 = 2
  3. x3 + x4 = 3
  4. x4 + x5 = 4
  5. x5 + x6 = 5
  6. ⋮
  1. 用后一个方程减去前一个方程。
已相减 0 / 4 次

已完成 0 / 4 次相减

  1. 1

    用第二个方程减去第一个方程：(x2+x3)−(x1+x2)(x_2 + x_3) - (x_1 + x_2)。x3−x1x_3 - x_1 等于多少？

    先预测一下：
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过关检测（第 16.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

如果 x1+x2=1x_1 + x_2 = 1 且 x2+x3=2x_2 + x_3 = 2，那么 x3−x1x_3 - x_1 是多少？

2

设对每个 kk 都有 xk+xk+1=kx_k + x_{k+1} = k，并且 x1=5x_1 = 5。x7x_7 是多少？

3

还是同一串方程 xk+xk+1=kx_k + x_{k+1} = k，且 x1=5x_1 = 5。x6x_6 是多少？

16.6

练习题

在本节中，你将能够 在一道难题中综合运用裂项求和与裂项求积。

Sohil 潦草的字迹把一个乘积变成了一个和！你能帮他收拾残局吗？把式子分成若干组，再对每一组裂项相消。

想在一页里看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 16.6.12（补充题）

Omega Learn

数列 ana_n 定义为：对所有正整数 nn，an=31+2+3+⋯+na_n = 3^{1+2+3+\cdots+n}。Sohil 想计算下面这个式子：12×23×34×…\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots。由于他的字迹太潦草，在上面的式子中，他不小心把所有形如 anan+1\frac{a_n}{a_n+1} 的分数（例如 3131+1\frac{3^1}{3^1+1}、3(1+2)3(1+2)+1\frac{3^{(1+2)}}{3^{(1+2)}+1} 等）前面的乘号都写成了加号。新的式子的值是多少？