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Mastering
AMC 8
几何 · 第 28 章

组合图形的面积与长度

正六边形、正八边形，还有各种奇形怪状的图形：把它们切成熟悉的小块，或者加上、减去一些部分，就能求出任何面积或长度。

这一章讲什么？
你需要先会
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28.10%

正六边形

在本节中，你将能够 把正六边形切成等边三角形，求出它的角和面积。

蜜蜂用六边形搭建蜂巢。仔细看其中一个小格：你可以把它切成 6 个一模一样的三角形。

正六边形有 6 条相等的边和 6 个相等的角。它的中心到每个顶点的距离都相同。所以从中心分出的 6 个三角形都是等边三角形，边长都是 s。

注意：只要弄懂一个等边三角形，就弄懂了整个正六边形：面积、角和对角线全都有了。

动手探索先玩，再学公式

正六边形，边长 2：6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3 ≈ 10.39

边长 s2
面积 ≈ 10.39 =332⋅22= \tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2

6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3

6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3 ≈ 10.39

认识概念

定理 28.1.1 · 正六边形

正六边形的内角和 =(6−2)⋅180=720= (6-2)\cdot 180 = 720

正六边形的每个内角 =(6−2)6⋅180=120= \dfrac{(6-2)}{6}\cdot 180 = 120

正六边形的每个外角 =3606=60= \dfrac{360}{6} = 60

正六边形的面积 =6⋅34s2= 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

正六边形（最长）对角线的长 =2s= 2s

看例题先预测，再揭晓

例 28.1

EMCC

小虫 Vincent 画出了一个面积为 720 的正六边形的所有对角线，把它分成了许多块。求最小的一块的面积。

面积为 720 的正六边形，所有对角线：共 24 块

共 24 块，总面积 720

共 24 块；总面积 720

  1. 1

    六边形有 9 条对角线。把它们全画出来后，一共有多少块？在图里数一数。

    先预测一下：
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例 28.2

EMCC

在等边三角形 ABCABC 中，点 PP 和 RR 在线段 ABAB 上，点 II 和 MM 在线段 BCBC 上，点 EE 和 SS 在线段 CACA 上，使得 PRIMESPRIMES 是一个各角都相等的六边形。已知 AB=11AB = 11，PS=2PS = 2，RI=3RI = 3，ME=5ME = 5，求六边形 PRIMESPRIMES 的面积。

  1. 1

    “各角都相等”就是六边形的每个角都一样大。每个角是多少度？

    先预测一下：
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自己做

习题 28.5.4

AMC 8

如图，一个单位六角星由一个边长为 1 的正六边形和向外延伸出的 6 个等边三角形组成。延伸部分的面积与原来六边形面积的比是多少？

习题 28.5.13

AMC 8

一个等边三角形和一个正六边形的周长相等。如果三角形的面积是 4，六边形的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 28.5.9

AMC 8

如图，六边形 ABCDEFABCDEF 各角都相等，ABJIABJI 和 FEHGFEHG 是正方形，面积分别为 18 和 32，△JBK\triangle JBK 是等边三角形，且 FE=BCFE = BC。△KBC\triangle KBC 的面积是多少？

习题 28.5.16（补充题）

AMC 10

一个边长为 1 的正六边形内接于一个圆。把六边形每条边所对的劣弧沿这条边翻折（作轴对称）。这 6 条翻折后的弧围成的区域面积是多少？

过关检测（第 28.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

边长为 2 的正六边形面积是多少？

2

正六边形的每个内角是多少度？

3

一个正六边形最长的对角线是 10。它的边长是多少？

28.20%

正八边形

在本节中，你将能够 把正方形剪掉四个角做成正八边形，并求出它的角和面积。

停车标志是一个正八边形。你可以用一张正方形卡纸做一个：只要剪掉四个角就行。可是每个角要剪掉多少呢？

剪下的每个角都是一个等腰直角三角形，也就是 45°-45°-90° 三角形。如果它的直角边是 x，剪出的那条边就是 x√2。当每条剪出的边都和正方形剩下的边一样长时，这个八边形就是正八边形。

注意：正八边形的面积等于正方形减去四个小三角形。公式 2(1 + √2)s² 就是这样来的。

动手探索先玩，再学公式

10 × 10 的正方形剪掉直角边为 2.00 的四个角：斜边 2.83，直边 6.00，面积 92.00

正方形边长10
斜边 x2=2.83x\sqrt2 = 2.83 · 直边 L−2x=6.00L-2x = 6.00
面积 = 92.00
还不是正八边形：边长不相等。

斜边 2.83，直边 6.00，面积 92.00

认识概念

定理 28.2.1 · 正八边形

正八边形的内角和 =(8−2)⋅180=1080= (8-2)\cdot 180 = 1080

正八边形的每个内角 =(8−2)8⋅180=135= \dfrac{(8-2)}{8}\cdot 180 = 135

正八边形的每个外角 =3608=45= \dfrac{360}{8} = 45

正八边形的面积 =2(1+2)s2= 2(1+\sqrt2)s^2

竞赛角真实竞赛题

习题 28.5.1

AMC 8

点 OO 是正八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的中心，XX 是边 AB‾\overline{AB} 的中点。阴影部分占八边形面积的几分之几？

过关检测（第 28.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

正八边形的每个内角是多少度？

2

一个正八边形的边长是 1。它的面积是多少？

3

从一个正方形的四个角剪下四个相同的等腰直角三角形，得到一个边长为 2 的正八边形。每个三角形的直角边有多长？

28.30%

组合图形的面积

在本节中，你将能够 通过加上好算的部分、减去多余的部分，求出奇特图形的面积。

刷满一面带拱形门洞的墙要多少油漆？它既不是长方形，也不是圆。它是一个长方形加上半个圆，再减去门！

你已经会求长方形、三角形和圆的面积了。组合图形就是把这些图形拼在一起，或者从中挖掉一些部分。加上你需要的部分，减去不属于它的部分。

注意：有时候，先找一个更大、更好算的图形，再减去多出来的部分，会更容易。

动手探索先玩，再学公式

面积：+ 长方形 6 × 4 = 24

带门的拱形墙
64
面积
24 = 24

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

24 = 24

认识概念

概念 28.3.1 · 求组合图形面积的技巧

  • 把图形分成几个更“好算”的部分
  • 延长线段
    • 当延长后能得到更好处理的图形（比如三角形）时，通常就值得延长
  • 拆分面积
    • 常用的做法是作高，因为这样通常能得到直角三角形

看例题先预测，再揭晓

例 28.3

EMCC

在长方形 TRIGTRIG 中，点 AA 和 LL 分别在边 TGTG 和 TRTR 上，使得 TA=AGTA = AG，TL=2LRTL = 2LR。对角线 GRGR 分别与线段 ILIL 和 IAIA 交于 BB 和 EE。已知以 TABLETABLE 为顶点的凸五边形面积等于 21。TRIGTRIG 的面积是多少？

面积：还没有选任何部分 = 0

长方形 TRIG
TRIGALBE
面积
点各个部分来组合

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

图中按 TRIG = 8 × 7 画出。点各个部分，拼出这个五边形。
  1. 1

    你不知道长方形有多大，所以把每块面积都写成 TRIGTRIG 的几分之几。三角形 TRGTRG 占 TRIGTRIG 的几分之几？

    先预测一下：
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自己做

习题 28.5.2

AMC 8

如图，外面的等边三角形面积为 16，里面的等边三角形面积为 1，三个梯形全等。其中一个梯形的面积是多少？

习题 28.5.6

AMC 8

一扇装饰窗由一个长方形和两端的半圆组成。ADAD 与 ABAB 的比是 3:23:2，ABAB 长 30 英寸。长方形面积与两个半圆面积之和的比是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 28.5.10

AMC 8

如图，ABCDABCD 是长方形，EFGHEFGH 是平行四边形。利用图中给出的数据，与 HE‾\overline{HE} 和 FG‾\overline{FG} 都垂直的线段长 dd 是多少？

习题 28.5.11

AMC 8

如图，两个 4×44\times 4 的正方形互相垂直地相交，并且互相平分对方与之相交的边。圆的直径是两个交点之间的线段。从两个正方形中去掉这个圆后得到阴影部分，阴影部分的面积是多少？

习题 28.5.12

AMC 8

一个边长为 2 的正方形和一个圆有相同的中心。在圆内且在正方形外的各部分面积之和，等于在圆外且在正方形内的各部分面积之和。圆的半径是多少？

习题 28.5.15（补充题）

MATHCOUNTS

如图，一个有两个直角的筝形内接于一个圆。这个圆又内切于一个正方形，并且筝形的对角线与正方形的边平行。筝形较长的两条边长都是 xx 米。筝形的边把正方形分成三个区域，分别涂成深灰色、白色和浅灰色，每个区域的面积都是 2。如果 x2=a+bx^2 = a + \sqrt{b}，a+ba + b 的值是多少？

过关检测（第 28.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

从一个 10×1010 \times 10 的正方形中挖掉一个半径为 3 的圆。剩下的面积是多少？

2

一个 L 形是从 7×57 \times 5 的长方形的一个角上去掉一个 3×23 \times 2 的长方形。它的面积是多少？

3

如图，一个有两个直角的筝形内接于一个圆。这个圆又内切于一个正方形，并且筝形的对角线与正方形的边平行。筝形较长的两条边长都是 xx 米。筝形的边把正方形分成三个区域，分别涂成深灰色、白色和浅灰色，每个区域的面积都是 2。如果 x2=a+bx^2 = a + \sqrt{b}，a+ba + b 的值是多少？

28.40%

组合图形的长度

在本节中，你将能够 把周长和其他长度拆成可以量出来的线段和弧，求出它们的长度。

一只蚂蚁沿着一个台阶形花园走了一圈。它走了多远？你可以把每一小段边都加起来，也可以找一条捷径！

组合图形周围的长度由直线段和弧组成。先求出每一段，再加起来。有直角，就可以用勾股定理；角相等，往往意味着边也相等。

注意：作一条高，就能把一条斜边变成一个直角三角形的斜边。

动手探索先玩，再学公式

长度：+ 底边 + 右边 + 左边 = 14

台阶形的周长
66
长度
6 + 2 + 6 = 14

点一段：把它算进总长，或者拿掉。

6 + 2 + 6 = 14

认识概念

概念 28.4.1 · 求组合图形的长度

  • 角相等意味着边相等，反过来也一样
  • 留意 90 度的角，因为这时可以用勾股定理
  • 用下面这些方法把长度拆成几段
    • 添加辅助线
    • 作高
    • 延长线段，构造相似三角形、特殊三角形等，再减去多出来的长度

看例题先预测，再揭晓

例 28.4

EMCC

半径分别为 6 和 8 的两个圆外切。另外两个半径为 7 的圆放在这组图形的两侧，使它们都与原来的两个圆外切。在这 4 个圆中，任意两个圆心之间的最大距离是多少？

  1. 1

    两个圆外切时，圆心距等于两条半径之和。半径为 6 和 8 的两个圆，圆心相距多远？

    先预测一下：
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例 28.5

EMCC

David 决定加入西非鼓乐团，于是他去商店买了三个很大的圆柱形鼓。为了保证回家路上鼓不会掉下来，他用一根绳子在鼓的中部把三个鼓绕着捆在一起，使每个鼓都挨着另外两个。假设每个鼓的直径都是 3.5 英尺。David 需要 mm 英尺长的绳子。已知 m=aπ+bm = a\pi + b，其中 aa 和 bb 是有理数，求 a+ba + b。

长度：还没有选任何部分 = 0

绕住三个鼓的绳子
长度
点各个部分来组合

点一段：把它算进总长，或者拿掉。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

  1. 1

    绳子由直的部分和弯的部分组成。每个鼓的半径是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 28.5.3

AMC 8

如图，把两个 2×42\times 4 英寸的长方形拼在一起，组成字母 T。这个 T 的周长是多少英寸？

习题 28.5.5

AMC 8

多边形 ABCDEFABCDEF 的面积为 52，AB=8AB = 8，BC=9BC = 9，FA=5FA = 5。DE+EFDE + EF 是多少？

习题 28.5.8

AMC 8

梯形 ABCDABCD 的周长是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 28.5.7

AMC 8

三角形 ABCABC 是等腰三角形，AB‾=BC‾\overline{AB} = \overline{BC}。点 DD 既是 BC‾\overline{BC} 的中点，也是 AE‾\overline{AE} 的中点，CE‾\overline{CE} 长 11 个单位。三角形 ABDABD 与三角形 ECDECD 全等。BD‾\overline{BD} 的长是多少？

习题 28.5.14

AMC 8

△ABC\triangle ABC 的 ∠ABC\angle ABC 是直角。如图，以 △ABC\triangle ABC 的三边为直径各作一个半圆。AB‾\overline{AB} 上的半圆面积等于 8π8\pi，AC‾\overline{AC} 上半圆的弧长为 8.5π8.5\pi。BC‾\overline{BC} 上的半圆半径是多少？

过关检测（第 28.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个梯形的两条平行边分别是 10 和 16，高为 4，两腰相等。它的周长是多少？

2

一个 L 形房间是从 6×46 \times 4 的长方形的一个角上切掉一个 2×12 \times 1 的长方形。它的周长是多少？

3

一个图形是一个 4×44 \times 4 的正方形，上边再加一个半圆（上边是半圆的直径）。这个图形的周长是多少？

28.5

练习题

在本节中，你将能够 在一道难度较高的竞赛题上综合运用本章的所有技巧。

三张正方形纸片，转一转再叠起来，就成了一个 24 条边的星形。你能求出它的面积吗？先找找对称性！

想在一页上看到本章的所有习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 28.5.17（补充题）

AMC 10

三张完全相同、边长都是 6 的正方形纸片叠在一起。中间一张绕它的中心顺时针旋转 30∘30^\circ，最上面一张绕它的中心顺时针旋转 60∘60^\circ，得到下图所示的 24 边形。这个多边形的面积可以写成 a−bca - b\sqrt{c} 的形式，其中 aa、bb、cc 都是正整数，且 cc 不能被任何质数的平方整除。a+b+ca + b + c 是多少？